Question

4. Considere a função f do segundo grau, em que f (0) = 5, f (1) = 3 e f (−1) = 1. A lei de formação dessa função pode ser escrita conforme

Answer 1

A lei de formação da função pode ser escrita como f(x) = -3x² + x + 5.

A forma geral de uma função do segundo grau é dada por:

$\large \boxed{f(x) = ax^2+bx+c}$.

Para encontramos a lei de formação da função do segundo grau em que

• f(0) = 5
• f(1) = 3
• f(-1) = 1

Primeiramente devemos substituir cada um desses valores na lei de formação da função de segundo grau vista inicialmente. Sendo assim, temos:

• Para f(0) = 5:

$\large \begin{aligned}f(x) & = ax^2 + bx + c\\f(0) & = a\cdot 0^2 + b\cdot 0 + c\\5 & = 0 + 0 + c\\c & = 5\end{aligned}$

• Para f(1) = 3

$\large \begin{aligned}f(x) & = ax^2 + bx + c\\f(1) & =a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + c\\3 & = a + b + c\\a + b + c & = 3\end{aligned}$

• Para f(-1) = 1

$a\cdot (-1)^2 + b\cdot (-1) +c =1\Rightarrow a-b+c=1\\\large \begin{aligned}f(x) &= ax^2+bx + c\\f(-1) & = a\cdot (-1)^2 + b\cdot (-1) + c\\1 & = a -b+c\\a-b+c &= 1\end{aligned}$

Ou seja, ficamos com o seguinte sistema de equações lineares:

$\large\begin{cases}c=5\\a+b+c=3\\a-b+c=1\end{cases}$

Donde,

$\large\begin{cases} c=5\\a+b=-2\\a-b=-4 \end{cases}$

Ou ainda,

$\large\begin{cases} c=5\\a=-3\\b=1\end{cases}$

Portanto, a lei de formação da função é:

$\large \boxed{f(x) =-3x^2+x+5.}$