Question

Calcule a integral 2016.2-U2S1-ADG- CDI3 considerando V a região definida por 2016.2-U2S1-ADG- CDI3Q3E2

Assinale a alternativa que apresenta a resolução correta.

Answer 1

O valor da integral tripla aplicada na região V é igual a:

$\int \int \int_V \ \dfrac{\sin(x-5y-2z)}{2x-y+4z} \ dx \ dy \ dz =\dfrac{2}{9}\ln \left(\dfrac{7}{4}\right)$

Integral Tripla

Para responder a esta questão vamos aplicar o método de mudança de variável utilizando o operador Jacobiano definido pelas derivadas parciais.

$\int \int \int_V \ f(x,y,z) \ dx \ dy \ dz =\int \int \int_V \ g(u,v,w)\cdot J \ du \ dv \ dw$

$J=\dfrac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial x}{\partial w}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial w}\\\frac{\partial z}{\partial u}&\frac{\partial z}{\partial v}&\frac{\partial z}{\partial w}\end{vmatrix}$

Fazendo a mudança de variável e calculando as suas respectivas derivadas parciais temos:

$u=x-5y-2z\Rightarrow x=u+5y+2z\Rightarrow \begin{cases}\frac{\partial x}{\partial u}=1\\\frac{\partial x}{\partial v}=0\\\frac{\partial x}{\partial w}=0\\\end{cases}$

$\\\\v=2x-y+4z\Rightarrow y=2x+4y-v\Rightarrow y=-\dfrac{2}{9}u-\dfrac{8}{9}z+\dfrac{1}{9}v\Rightarrow \begin{cases}\frac{\partial y}{\partial u}=-2/9\\\frac{\partial y}{\partial v}=1/9\\\frac{\partial y}{\partial w}=0\\\end{cases}$

$\\\\w=z\Rightarrow z=w\Rightarrow \begin{cases}\frac{\partial z}{\partial u}=0\\\frac{\partial z}{\partial v}=0\\\frac{\partial z}{\partial w}=1\\\end{cases}$

Calculando o Jacobiano obtemos:

$J=\begin{vmatrix}1&0&0\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}&0\\0&0&1\end{vmatrix}=\dfrac{1}{9}$

Precisamos reescrever os limites de integração da função:

$0\leq x-5y-2z\leq \dfrac{\pi}{2}\Rightarrow 0\leq u\leq \dfrac{\pi}{2}\\\\4\leq 2x-y+4z\leq7\Rightarrow 4\leq v\leq 7\\\\3\leq z \leq 5\Rightarrow 3\leq w\leq 5$

Efetuando a mudança de variável na integral e calculando seu valor da parte interna para externa teremos:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_4^7 \int_3^5 \dfrac{\sin(u)}{v}\cdot \dfrac{1}{9} \ dw \ dv \ du=\dfrac{1}{9}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_4^7 \dfrac{\sin(u)}{v}\left(\int_3^5 \ dw\right) \ dv \ du$

$=\dfrac{1}{9}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_4^7 \dfrac{2\cdot \sin(u)}{v} \ dv \ du$

$=\dfrac{2}{9}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(u)\left(\int_4^7 \dfrac{1}{v} \ dv\right) \ du$

$=\dfrac{2}{9}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(u)\left[\ln (7)-\ln (4)\right] \ du$

$=\dfrac{2}{9}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(u)\left[\ln \left(\dfrac{7}{4}\right)\right] \ du$

$=\dfrac{2}{9}\ln\left(\dfrac{7}{4}\right)\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(u) \ du$

$=\dfrac{2}{9}\ln\left(\dfrac{7}{4}\right)\left[-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-(-\cos 0)\right]$

$=\dfrac{2}{9}\ln\left(\dfrac{7}{4}\right)$

Para saber mais sobre Integrais Triplas acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/48630194

https://brainly.com.br/tarefa/6402739

#SPJ1

Answer 2

Resposta:

2/9ln(7/4)

Explicação passo a passo:

Corrigido pelo AVA