Question

19)Resolvendo o sistema linear a seguir x+y=0
2x+y+z=0
4x + 3y + z = 0
Podemos afirmar que o valor de z que satisfaz esse sistema é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5​

Answer 1

Da 1ª eq. obtemos x=-y. Substituindo na segunda, obtemos x+z=0, ou seja, x=-z. E como y=-x, temos também que y=z. Substituindo x=-z e y=z na última eq. obtemos:

-4z + 3z + z = 0, isto é, 0=0.

Isso significa que o sistema de equações acima é satisfeito para qualquer valor de z. De fato, o conjunto das soluções do sistema acima é:

S = { (x,y,z) em R^3 | x = -z e y = z} =
= { (-t, t, t) | t em R},

que é uma reta.

Answer 2

O valor de Z é satisfeito por qualquer valor do conjunto dos números.

Eliminação de Gauss

Descrito como uma forma de resolução de sistemas lineares por meio a matrizes. O método é baseado na soma de operações elementares entre as linhas da matriz. Como o sistema é descrito como:

$x+y=0\\2x+y+z=0\\4x + 3y + z = 0$

Pode-se escrever da seguinte forma:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\2&1&1\\4&3&1\end{array}\right]$[

Aplicando o método da eliminação de Gauss, para reduzir a primeira linha da coluna, vamos realizar a operação:

$L(2)-2L(1)$

Onde é a diminuição da segunda linha com a primeira linha multiplicada por 2:

$L(3) - 4L(1)$

Onde é a diminuição da terceira linha com a primeira linha multiplicada por 4.

Realizando as seguintes operações

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&-1&1\\0&-1&1\end{array}\right]$

Realizando:

$L(3)-L(2)$

Chega-se a seguinte matriz:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&-1&1\\0&0&0\end{array}\right]$

Assim, voltando a forma algébrica conseguimos constatar:

$x=-y\\y=z$

Assim o valor de Z para que seja satisfeita esse sistema é qualquer valor do conjunto dos números reais.

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#SPJ2