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Resposta:
Explicação passo a passo:
Provar que N = 11...122...25 é um quadrado perfeito, sendo N um número natural formado por n − 1 algarismos iguais a 1, seguidos de n algarismos iguais a 2, seguido do algarismo 5.
O número é formado por algarismos. Utilizando o sistema de numeração posicional decimal, podemos escrever:
Entre parênteses, temos duas somas de progressões geométricas de razão Aplicando a fórmula abaixo da soma dos termos de uma P.G.:
Para a expressão (i) fica
Reescrevendo identificamos o numerador como o quadrado de uma soma (produtos notáveis):
com
Agora, apenas nos resta verificar se é natural. Utilizando congruência modular e suas propriedades, temos
Portanto é multiplo de para todo e consequentemente
como queríamos.
Obs.: Utilizando a mesma fórmula da soma da progressão geométrica, podemos também verificar que
isto é, é um natural formado por algarismos iguais a seguido do algarismo
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