• Matéria: Matemática
  • Autor: ivanildoleiteba
  • Perguntado 3 anos atrás

(MA14-PROFMAT) \ Prove \ que \ N= \underbrace{111...}_{n-1}\underbrace{222...}_{n}5 \ \acute{e} \ um \ quadrado \ perfeito.

Respostas

respondido por: Lukyo
3

Resposta:   N=\left(\dfrac{10^n+5}{3}\right)^{\!2},\quad\mathrm{com~}\dfrac{10^n+5}{3}\in\mathbb{N}.

Explicação passo a passo:

Provar que N = 11...122...25 é um quadrado perfeito, sendo N um número natural formado por n − 1 algarismos iguais a 1, seguidos de n algarismos iguais a 2, seguido do algarismo 5.

    \begin{array}{l}N=\underbrace{11\ldots 1}_{n-1}\underbrace{22\ldots 2}_n 5 \end{array}

O número N é formado por 2n algarismos. Utilizando o sistema de numeração posicional decimal, podemos escrever:

    \begin{array}{lcl}\Longleftrightarrow\quad N=&&\underbrace{(1\cdot 10^{2n-1}+1\cdot 10^{2n-2}+\ldots+1\cdot 10^{n+1})}_{n-1\mathrm{~parcelas}}\;+\\\\&\!\!\!+\!\!\!&\underbrace{(2\cdot 10^n+2\cdot 10^{n-1}+\ldots+2\cdot 10^2+2\cdot 10^1)}_{n\mathrm{~parcelas}}\;+\;5\cdot 10^0\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=&&(10^{2n-1}+10^{2n-2}+\ldots+10^{n+1})\;+\\\\&\!\!\!+\!\!\!&2\cdot (10^n+10^{n-1}+\ldots+10^2+10^1)+5\qquad\mathrm{(i)}\end{array}

Entre parênteses, temos duas somas de progressões geométricas de razão q=10. Aplicando a fórmula abaixo da soma dos termos de uma P.G.:

    \displaystyle\sum_{k=a}^b q^k=\left.\frac{q^k}{q-1}\right|_a^{b+1}=\frac{q^{b+1}-q^a}{q-1}\qquad\mathrm{com~}q\ne 1

Para q=10, a expressão (i) fica

    \begin{array}{l}\displaystyle\Longleftrightarrow\quad N=\sum_{k=n+1}^{2n-1}10^k+2\cdot \sum_{k=1}^n 10^k+5\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=\left.\dfrac{10^k}{10-1}\right|_{n+1}^{(2n-1)+1}+2\cdot \left.\dfrac{10^k}{10-1}\right|_1^{(n)+1}+5\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=\left.\dfrac{10^k}{9}\right|_{n+1}^{2n}+2\cdot \left.\dfrac{10^k}{9}\right|_1^{n+1}+5\end{array}

    \begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad N=\dfrac{10^{2n}-10^{n+1}}{9}+2\cdot \dfrac{10^{n+1}-10^1}{9}+5\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=\dfrac{10^{2n}-10^{n+1}+2\cdot(10^{n+1}-10)+45}{9}\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=\dfrac{10^{2n}-10^{n+1}+2\cdot10^{n+1}-20+45}{9}\end{array}

    \begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad N=\dfrac{10^{2n}+10^{n+1}+25}{9}\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=\dfrac{10^{2n}+10\cdot 10^n+25}{9} \end{array}

Reescrevendo 10=2\cdot 5, identificamos o numerador como o quadrado de uma soma (produtos notáveis):

    \begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad N=\dfrac{(10^n)^2+2\cdot 5\cdot 10^n+5^2}{9}\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=\dfrac{(10^n+5)^2}{3^2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=\left(\dfrac{10^n+5}{3}\right)^{\!2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=m^2\qquad\checkmark\end{array}

com m=\dfrac{10^n+5}{3}.

Agora, apenas nos resta verificar se m é natural. Utilizando congruência modular e suas propriedades, temos

    \begin{array}{l}10\equiv 1\quad\mathrm{(mod~3)}\\\\ \Longrightarrow\quad 10^n\equiv 1^n\equiv 1\quad\mathrm{(mod~3)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 10^n+5\equiv 1+5\quad\mathrm{(mod~3)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 10^n+5\equiv 6\equiv 0\quad\mathrm{(mod~3)}\end{array}

Portanto 10^n+5 é multiplo de 3, para todo n\in\mathbb{N} e consequentemente

    \Longrightarrow\quad \dfrac{10^n+5}{3}\in\mathbb{N}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad m\in\mathbb{N}\qquad\quad\blacksquare

como queríamos.

Obs.: Utilizando a mesma fórmula da soma da progressão geométrica, podemos também verificar que

    \displaystyle m=\dfrac{10^n+5}{3}=\underbrace{33\ldots 3}_{n-1}5=3\cdot \sum_{k=1}^{n-1} 10^k+5

isto é, m é um natural formado por n-1 algarismos iguais a 3, seguido do algarismo 5.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!

Anexos:

ivanildoleiteba: Bom dia. Obrigado pela ajuda Lukyo.
Lukyo: De nada! :-)
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