Question

Deve-se construir uma caixa retangular (formato de um paralelepípedo reto retângulo), sem tampa, de 972 cmˆ3 de volume e comprimento da base igual ao dobro da largura. Determine as dimensões (comprimento, largura e altura) que minimizem a área superficial total dessa caixa.

Answer 1

Resposta:

Largura = 7,1433 cm, comprimento = 14,287 cm e altura = 9,5244 cm.

Explicação:

Chamemos o comprimento de "c", a largura de "l" e a altura de "h".

Sabemos que:

V = c * l * h

É dado que c = 2l. Assim:

V = 2l * l * h

972 = 2l² * h

h = 972 / (2l²)

h = 486 / l² (I)

A área superficial total é dada por:

As = 2*c*l + 2*l*h + 2*c*h

As = 2*(2l)*l + 2*l*h + 2*(2l)*h

As = 4l² + 2lh + 4lh

As = 4l² + 6lh (II)

Substituindo o valor de (I) em (II), temos:

As = 4l² + 6l(486 / l²)

As = 4l² + 2916 / l

Derivando a área superficial total em função da largura, temos:

dAs/dl = 8l - 2916 / l²

Como queremos encontrar o menor valor, igualamos a zero:

0 = 8l - 2916 / l²

8l = 2916 / l²

8l³ = 2916

l³ = 2916 / 8

l = 7,1433 cm (valor da largura)

Logo, o comprimento será:

c = 2l

c = 14,287 cm

E a altura será:

h = 486 / l²

h = 9,5244 cm

Esses são os valores que minimizam a área superficial total, que será de:

As = 4l² + 6lh

As = 612,32 cm²