Question

Um CD tem um diâmetro D e possui um furo central com diˆametro d. Suponha que

alguém depositou uma densidade de carga uniforme de σ neste disco.

A)Calcule o campo elétrico num ponto no eixo de simetria rotacional do disco que fique

numa distância de h do centro.

B)Determine o módulo do campo elétrico obtido no item anterior, sabendo que D =

120mm, d = 15mm, σ = 0, 1nC/cm2e h = 60mm

Answer 1

A expressão do campo elétrico gerado pelo disco é $E=\frac{\sigma.h}{2\epsilon_0}(\frac{1}{\sqrt{\frac{d^2}{4}+h^2}}-\frac{1}{\sqrt{\frac{D^2}{4}+h^2}})$, aplicando essa expressão para um CD típico obtêm-se 88,7 N/C de campo elétrico.

Qual é o campo elétrico no eixo de simetria rotacional do disco?

Para achar o campo elétrico gerado por um disco podemos partir da expressão do campo elétrico para um anel carregado. Assim, um diferencial de campo elétrico pode ser um anel com o seguinte campo elétrico:

$dE=\frac{1}{4\pi.\epsilon_0}.\frac{z.dq}{(a^2+z^2)^{3/2}}=\frac{1}{4\pi.\epsilon_0}.\frac{z.2\pi.a.\sigma.da}{(a^2+z^2)^{3/2}}$

Em que 'a' é o raio do anel carregado e z é a distância desde o centro em direção do eixo de simetria rotacional (perpendicular ao plano do anel). O campo elétrico do disco de raio interno 'r' e raio externo R é:

$E=\frac{\sigma.z}{2.\epsilon_0}\int\limits^R_r {\frac{a}{(a^2+z^2)^{3/2}}} \, da=\frac{\sigma.z}{2.\epsilon_0}\int\limits^R_r {\frac{a}{\sqrt{a^2+z^2}(a^2+z^2)}} \, da$

Nessa integral é possível fazer uma troca de variáveis:

$u=a^2+z^2,du=2a.da\\\\E=\frac{\sigma.z}{4\epsilon_0}\int\limits^R_r {\frac{1}{u^{3/2}}} \, du=\frac{\sigma.z}{2\epsilon_0}[\frac{1}{\sqrt{a^2+z^2}}]^R_r=\frac{\sigma.z}{2\epsilon_0}(\frac{1}{\sqrt{r^2+z^2}}-\frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}})$

Se a distância do centro for 'h' a expressão (em função dos diâmetros) fica assim:

$E=\frac{\sigma.h}{2\epsilon_0}(\frac{1}{\sqrt{\frac{d^2}{4}+h^2}}-\frac{1}{\sqrt{\frac{D^2}{4}+h^2}})$

Um exemplo para o campo elétrico deste disco

Utilizando unidades do sistema MKS podemos achar o campo elétrico gerado por um CD típico:

$E=\frac{1\times 10^{-10}\frac{C}{m^2}.0,06m}{2.8,85\frac{C^2}{Nm^2}}(\frac{1}{\sqrt{\frac{(0,015m)^2}{4}+(0,06m)^2}}-\frac{1}{\sqrt{\frac{(0,12m)^2}{4}+(0,06m)^2}})\\\\E=88,7\frac{N}{C}$

Saiba mais sobre o  campo elétrico em https://brainly.com.br/tarefa/43042840

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