Question

Analisando a equação da reta r: x - 2y = 0 e da circunferência é: x²+y²-10y+5=0

Answer 1

A reta é tangente à circunferência, alternativa a.

Intersecção entre uma reta e uma circunferência

Dadas uma reta e uma circunferência no plano xy, temos que, a intersecção dessas duas formas geométricas é formada por um único ponto, por dois pontos distintos ou por nenhum ponto. Nesse caso, temos que:

• Quando a intersecção é vazia, a reta possui todos os pontos na parte externa da circunferência.
• Se a intersecção for apenas um ponto, dizemos que a reta é tangente a circunferência.
• Quando temos dois pontos distintos na intersecção, chamamos a reta de reta secante a circunferência.

Dessa forma, para analisarmos a alternativa correta, devemos primeiro calcular a intersecção das duas curvas. Substituindo x = 2y na equação da circunferência, temos que:

$4y^2 + y^2 - 10y + 5 = 0$

$5y^2 - 10y + 5 = 0$

$y^2 - 2y + 1 = 0$

$\Delta = 4 - 4 = 0$

$y = \dfrac{2 \pm 0}{2} = 1$

Substituindo o valor y = 1 na equação da reta, temos que, x = 2, ou seja, a intersecção possui apenas um ponto (2,1). Podemos afirmar que a reta é tangente a circunferência.

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