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Explicação passo a passo:
Dizemos que uma função é limitada se e somente se existem constantes reais e tais que
para todo
Queremos mostrar que a função é limitada.
De fato, é função racional de duas variáveis com numerador e denominador não-negativos, pois o numerador é o quadrado de um número real, e o denominador é uma soma de quadrados. Logo, temos
para todo
Por outro lado, temos
Acima temos a soma de duas frações não-negativas sendo igual a 1. Portanto, cada parcela deve ser no máximo igual a 1. Em particular, devemos ter
para todo
Por (i) e (ii), concluímos que
para todo Logo, é limitada, como queríamos demonstrar.
Dúvidas? Comente.
Bons estudos! :-)
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