Question

mostre que f(x,y)=y^2/x^2+y^2+1 é uma função limitada

Answer 1

Explicação passo a passo:

Dizemos que uma função $f:~D\subset\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ é limitada se e somente se existem constantes reais $m$ e $M,$ tais que

     $m\le f(x,\,y)\le M$

para todo $(x,\,y)\in D=\mathrm{Dom}(f).$

Queremos mostrar que a função $f(x,\,y)=\dfrac{y^2}{x^2+y^2+1}$ é limitada.

De fato, $f$ é função racional de duas variáveis com numerador e denominador não-negativos, pois o numerador é o quadrado de um número real, e o denominador é uma soma de quadrados. Logo, temos

     $0\le f(x,\,y)\qquad\mathrm{(i)}$

para todo $(x,\,y)\in\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}^2.$

Por outro lado, temos

     $\begin{array}{l} \dfrac{x^2+y^2+1}{x^2+y^2+1}=1\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{y^2}{x^2+y^2+1}+\dfrac{x^2+1}{x^2+y^2+1}=1\end{array}$

Acima temos a soma de duas frações não-negativas sendo igual a 1. Portanto, cada parcela deve ser no máximo igual a 1. Em particular, devemos ter

     $\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad \dfrac{y^2}{x^2+y^2+1}\le 1\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(x,\,y) \le 1\qquad\mathrm{(ii)}\end{array}$

para todo $(x,\,y)\in\mathbb{R}^2.$

Por (i) e (ii), concluímos que

     $0\le f(x,\,y) \le 1$

para todo $(x,\,y)\in\mathbb{R}^2.$ Logo, $f$ é limitada, como queríamos demonstrar.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)