Question

mostre que (un) é limitada
$\frac{6n + 5}{2n}$
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Answer 1

Resposta: Veja abaixo.

 

Vamos lá. Primeiramente, vamos reescrever a sucessão da seguinte forma:

 

$\begin{array}{l}u_n=\dfrac{6n+5}{2n}\implies u_n=q+\dfrac{r}{d}\end{array}$

 

Ou seja, o quociente somado à razão entre o resto e o divisor.

 

$\begin{array}{l}~~\,6n+5~\underline{|~~2n~~}\\\underline{-\,6n~~}\qquad 3\\~~~0~~~~\:5\end{array}$

$\therefore$

$u_n=3+\dfrac{5}{2n}$

 

Com a sucessão nesta forma fica mais fácil mostrar sua limitação. Tomando a sucessão 5/2n e, para o seu primeiro termo, n = 1 ⇒ 5/2.1 = 5/2, observe que:

$0 < \dfrac{5}{2n} \leqslant \dfrac{5}{2}$

Isto é, a sucessão é crescente para todo n pertencente aos naturais. A medida que n cresce, os termos apenas se aproximam de zero, mas nunca vai ter um termo que será igual a zero ou menor (negativo).

Para chegar na sucessão inicial, some 3 aos membros da inequação:

 

$\begin{array}{l}0 +3 < \dfrac{5}{2n} +3\leqslant \dfrac{5}{2}+3\\\\3 < \dfrac{6n+5}{2n}\leqslant \dfrac{6+5}{2}\\\\3 < \dfrac{6n+5}{2n}\leqslant \dfrac{11}{2}\end{array}$

 

Portanto, vemos acima que $u_n$ é limitada pois seus termos compreendem-se no intervalo ]3, 11/2], possuindo, assim, um minorante (termo de menor valor) e um majorante (termo de maior valor).