Question

Questão 12 - No projeto de uma sala de cinema, um arquiteto desenhou a planta sob a forma de um trapézio isosceles com a tela sobre a base menor desse trapézio. As poltronas serão dispostas em 16 fileiras paralelas à base do trapézio, tendo 20 poltronas da primeira fileira, a partir da segunda, cada fileira terá 2 poltronas a mais do que a anterior. Calcule o número de poltronas desse cinema. ​

Answer 1

Fazendo os cálculos e utilizando a fórmula adequada para resolver este problema, podemos concluir que o número de poltronas naquele cinema é igual a: $\displaystyle \boxtimes ~\boxed{\rm{\bold{560~poltronas}}}$

O problema menciona que naquela sala do Cinema ela tem uma forma retangular e tem 16 filas e que na primeira fila há 20 poltronas e cada fila aumenta 2 poltronas extras e com isso nos pede para calcular o número de poltronas que existem estão naquela sala.

Para encontrar o número total de assentos na sala de cinema, basta fazer a soma de todos os assentos de todas as filas. Mas para isso precisamos descobrir quantas poltronas há na fila 1, na fila 2 e assim por diante.

• Se quisermos saber quantas poltronas há na linha 1, somaremos as poltronas da linha 1 mais as 2 poltronas que ela aumenta:

$\rm{\bold{a_ 2 = 20 + 2= 2}}$

Se continuarmos somando o número total de poltronas que aumenta em cada fileira, duraremos muito tempo.

Mas uma forma de reduzir todo esse procedimento é dizer que o aumento de poltronas é igual a uma progressão aritmética.

• Por que uma progressão aritmética?

É uma progressão aritmética porque a diferença de cada termo da sequência sempre permanecerá constante, se você fizer as contas notará que o termo anterior menos o termo seguinte sempre dará o mesmo resultado e esse mesmo resultado é a mesma sequência com esse aumento.

Sabendo disso, podemos usar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética. Esta fórmula é:

$\rm{\bold{S_{n}=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}}}$

Onde:

• $\rm{\bold{S _ n}}$ : Soma de todos os termos existentes na P.A (não sabemos)

• $\rm{\bold{a_1}}$ : Primeiro termo da P.A (se soubermos).

• $\rm{\bold{a_n}}$ : Último termo da P.A (não sabemos).

• $\rm{\bold{n}}$ : Número de termos da P.A (se a conhecemos).

Se quisermos encontrar o número de poltronas na última linha, devemos usar a fórmula:

$\boxed{\rm{\bold{a_n= a_1 +(n-1)d}}}$

Você já conhece todas essas variáveis, com exceção de d onde d é a diferença de termos, isso é igual ao número de poltronas que aumenta as filas.

Utilizando os dados acima e aplicando a fórmula da progressão aritmética, temos:

$\rm{\bold{a_{16}= 20+(16-1)2}}\\ \\ \rm{\bold{a_{16} = 20+15\cdot 2}}\\ \\ \rm{\bold{a_{16}=20+30}}\\ \\ \rm{\bold{a_{16}= 50}}$

• Na fileira 16 há 50 poltronas, então o número de poltronas em toda a sala é igual a:

$\rm{\bold{S_{16}=\dfrac{(20+50)\cdot16}{2}}}\\ \\ \rm{\bold{S_{16}=\dfrac{70\cdot16}{2}}}\\ \\ \rm{\bold{S_{16} =\dfrac{1,120}{2}}}\\\\ \green{\boxtimes ~\boxed{\rm{\bold{S_{16}= 560}}}}$

Concluímos que há 560 poltronas na sala de cinema.

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Bons estudos! :D