Question

Suponha a função f que a cada número real x associa um par ordenado da forma (x,-x). Suponha ainda uma função g que a cada par ordenado (x,-x) associa a sua coordenada maior ou igual a zero. Considerando a função h ( x ) = g ( f ( x ) ) , é correto afirmar que: (I) O domínio de h é R. (II) A imagem de h é R + (III) h ( x ) = | x | (Ref.: 202205555988) Somente (I) e (II) são verdadeiras. Somente (II) é verdadeira Somente (III) é verdadeira Somente (I) é verdadeira. Todas as afirmativas são verdadeiras.

Answer 1

Resposta:

A alternativa correta é a última: Todas as afirmativas são verdadeiras.

Explicação passo a passo:

Seja a função dada, f de $R$ em $R^2$ :

f(x) = (x,-x)

E a função g(x,y) = |x| de $R^2$ em $R$

Observemos o seguinte:

a) Se x < 0, então :

 f(x) = (x, -x) = (-|x|, |x|)

 

 onde |x| é o valor absoluto de x

 

 Portanto

 

 g(x,-x) = g(-|x|, |x|) = |x|

 

b) Se x > 0, então :

 f(x) = (x, -x) = (|x|, -|x|)

 

 Portanto

 

 g(x,-x) = g(|x|, -|x|) = |x|

 

c) Se x = 0

  f(x) = (0, 0)

 

  E portanto

 

  g(x,-x) = g(0,0) = 0

I) Podemos verificar que o domínio de h(x) é igual ao domínio de f(x), pois tratamos todas as possibilidades para x nos itens a) a c) acima. Então o domínio de h(x) é o conjunto R.

 

II) Como x é qualquer número real, então h(x) = g(f(x)) pode assumir qualquer valor x entre 0 e mais infinito, ou seja a imagem de h(x) é R+.

III) Vamos reescrever os itens a) a (c) :

a) h(x) = g(f(x)) = |x|, para x < 0

b) h(x) = g(f(x)) = |x|, para x > 0

c) h(x) = 0, para x = 0

Esta é exatamente a definição da função |x|, então podemos concluir que h(x) = |x|.