Question

Faça o estudo do sinal de cada uma das funções quadráticas :

a) f(x) = - x² +x+2

b) f(x)= x² -6x+9

c) f(x)= - x² +2x -3

d) f(x)= x² - 1

Answer 1

Olá, Geise.

a) f(x) = -x² + x + 2
    Raízes: Δ = 1 + 8 = 9 ⇒ x = $\frac{-1\pm3}{-2}$ ⇒ x = -1 ou x = 2
    Como o coeficiente de x² é negativo (igual a -1), então esta parábola tem 
    concavidade voltada para baixo e toca o eixo x nas duas raízes. Isto significa que:
    - se -1 ≤ x ≤ 2, temos f(x) ≥ 0;
    - se x ≤ -1 ou  x ≥ 2, temos f(x) ≤ 0.

b) f(x) = x² - 6x + 9 = (x - 3)² ⇒ raiz: x = 3
    Como o coeficiente de x² é positivo (igual a 1), então esta parábola tem
    concavidade voltada para cima e tangencia o eixo x no ponto x = 3.
    Isto significa que f(x) ≥ 0 para qualquer valor de x.
    Em particular, f(x) = 0 no ponto x = 3.

c) f(x) = -x² + 2x - 3
    Raízes: Δ = 4 - 12 = -8 < 0 ⇒ f(x) não possui raízes ⇒ esta parábola não toca
    o eixo x
    Como o coeficiente de x² é negativo (igual a -1), então esta parábola tem
    concavidade voltada para baixo.
    Como esta parábola não toca o eixo x e sua concavidade está voltada para baixo,
    então esta parábola está toda abaixo do eixo x, ou seja, temos que f(x) < 0 para
    qualquer valor de x.

d) f(x) = x² - 1 = (x + 1)(x - 1) ⇒ Raízes: x = 1 ou x = -1
    Como o coeficiente de x² é positivo (igual a 1), então esta parábola tem
    concavidade voltada para cima e toca o eixo x nas duas raízes. Isto significa que:
    - se -1 ≤ x ≤ 1, temos f(x) ≤ 0;
    - se x ≤ -1 ou  x ≥ 1, temos f(x) ≥ 0.