Question

Calcule a somo dos termos da P.A (7,14,21...,491),não esqueça de calcular o número de termos.​

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a soma dos primeiros 71 termos da referida progressão aritmética é:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S_{71} = 1764\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a progressão aritmética:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} P.A.(7,14,21,\,\cdots,491)\end{gathered}$

OBSERVAÇÃO: para que a referida sequência seja de fato uma progressão aritmética o último termo deve ser 497:

Desta forma a progressão aritmética é:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} P.A.(7,14,21,\,\cdots,497)\end{gathered}$

Para calcular a soma dos "n" primeiros termos de uma progressão aritmética devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} S_{n} = \frac{(A_{1} + A_{n})\cdot n}{2}\end{gathered} }$

Sabendo que o termo geral da P.A. pode ser calculada por:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$       $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{n} = A_{1} + (n - 1)\cdot r\end{gathered}$

Isolando "n" na segunda equação temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(III)\end{gathered}$           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} n = \frac{A_{n} - A_{1}}{r} + 1\end{gathered} }$

Sabendo que a razão de uma progressão aritmética é a diferença entre qualquer termo - exceto o primeiro -  e seu antecessor, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(IV)\end{gathered}$               $\Large\displaystyle\begin{gathered} r = A_{n} - A_{n - 1}\end{gathered}$

Substituindo "IV" em "III", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(V)\end{gathered}$                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} n = \frac{A_{n} - A_{1}}{A_{n} - A_{n - 1}} + 1\end{gathered} }$

Substituindo os dados na equação "V", temos:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} n = \frac{497 - 7}{14 - 7} + 1\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{490}{7} + 1\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{490 + 7}{7}\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{497}{7}\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 71\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:n = 71\end{gathered}$

Substituindo os dados na equação "I", temos:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} S_{71} = \frac{(497 + 7)\cdot7}{2}\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{504\cdot7}{2}\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{3528}{2}\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 1764\end{gathered}$

✅ Portanto, a soma dos primeiros 71 termos da P.A. é:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} S_{71} = 1764\end{gathered}$

   

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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