• Matéria: Matemática
  • Autor: kwaikurt09
  • Perguntado 3 anos atrás

(PUC- MG) Sabe-se que a população de certa cidade cresce exponencialmente de acordo com a função p = f(x) do gráfico, onde t é o tempo em anos e p, a população em milhares de habitantes De acordo com as informações desse gráfico, o valor aproximado de t para que se tenha p = 160 é: a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32​

Anexos:

Respostas

respondido por: Vulpliks
3

Uma função exponencial é dada por:

f(x) = k \cdot a^x

Onde a e k representam constantes.

Olhando para os dados no gráfico, obtemos:

f(4) = 20

f(8) = 40

f(12) = 80

Utilizando esses dados, tentamos encontrar o valor das incógnitas:

f(4) = k \cdot a^4 = 20

Isolando k:

k = \dfrac{20}{a^4}

Agora utilizando o segundo ponto:

f(8) = k \cdot a^8 = 40

Isolando novamente k:

k = \dfrac{40}{a^8}

Agora, igualando as duas expressões para k, obtemos a:

\dfrac{20}{a^4} = \dfrac{40}{a^8}

\dfrac{a^8}{a^4} = \dfrac{40}{20}

a^4 = 2

\boxed{a = 2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2}}

Nos servimos desta informação para descobrir o valor de k:

k = \dfrac{20}{a^4}

k = \dfrac{20}{2^{\frac{1}{4}}^4}

k = \dfrac{20}{2^{\frac{4}{4}}}

k = \dfrac{20}{2^1}

\boxed{k = 10}

Agora, sabendo que:

\boxed{p(t) = 10 \cdot 2^{\frac{t}{4}}}

Queremos descobrir o valor de t para que se tenha p = 160:

160 = 10 \cdot 2^{\frac{t}{4}}

\dfrac{160}{10} = 2^{\frac{t}{4}}

16 = 2^{\frac{t}{4}}

2^4 = 2^{\frac{t}{4}}

Assim:

4 = \dfrac{t}{4}

E:

\boxed{t = 16 \text{ anos}}

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