Question

ESCOLA NAVAL (ADAPTADA): Considere um círculo de centro O circunscrito a um triângulo ABC com ângulo obtuso em A. O raio AO forma um ângulo de 60º com a altura AH e intercepta BC em um ponto E. O prolongamento da bissetriz do ângulo A intercepta BC em um ponto F e a circunferência em um ponto G, conforme figura abaixo. Determine a área do quadrilátero FEOG sabendo que AG = 4√2 cm e AH = raiz de 2.raiz de 3. Imagem associada para resolução da questão cm

Answer 1

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\mathsf{H \widehat AE = 60\textdegree}$

$\mathsf{F \widehat AE = H \widehat AF = \dfrac{H \widehat AE}{2} = \dfrac{60\textdegree}{2} = 30 \textdegree}$

$\mathsf{A \widehat OG = 180\textdegree - 2\:.\:F \widehat AE}$

$\mathsf{A \widehat OG = 180\textdegree - 2\:.\:30\textdegree}$

$\mathsf{A \widehat OG = 180\textdegree - 60\textdegree}$

$\mathsf{A \widehat OG = 120\textdegree}$

$\mathsf{(\overline{\rm AG})^2 = (\overline{\rm AO})^2 + (\overline{\rm OG})^2 - 2\:.\:\overline{\rm AO}\:.\:\overline{\rm OG}\:.\:cos\:A \widehat OG}$

$\mathsf{(\overline{\rm AG})^2 = r^2 + r^2 - 2\:.\:r\:.\:r\:.\:cos\:120\textdegree}$

$\mathsf{(4\sqrt{2})^2 = r^2 + r^2 - \not2\:.\:r\:.\:r\:.\:\left(-\dfrac{1}{\not2}\right)}$

$\mathsf{16.2 = r^2 + r^2 + r^2}$

$\mathsf{3r^2 = 32}$

$\mathsf{r = \dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\:.\:\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$

$\mathsf{r = \dfrac{4\sqrt{6}}{3}\:cm}$

$\mathsf{cos\:\Theta = \dfrac{cateto\:adjacente}{hipotenusa}}$

$\mathsf{cos\:H \widehat AE = \dfrac{\overline{\rm AH}}{\overline{\rm AE}}}$

$\mathsf{cos\:60\textdegree = \dfrac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{\overline{\rm AE}}}$

$\mathsf{\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{\overline{\rm AE}}}$

$\mathsf{\overline{\rm AE} = 2\sqrt[\mathsf{4}]{\mathsf{12}}\:cm}$

$\mathsf{cos\:H \widehat AF = \dfrac{\overline{\rm AH}}{\overline{\rm AF}}}$

$\mathsf{cos\:30\textdegree = \dfrac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{\overline{\rm AF}}}$

$\mathsf{\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{\overline{\rm AF}}}$

$\mathsf{\overline{\rm AF} = \dfrac{2\sqrt{2\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}}$

$\mathsf{\overline{\rm AF} = \dfrac{2\sqrt{2\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}\:.\:\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$

$\mathsf{\overline{\rm AF} = \dfrac{2\sqrt[\mathsf{4}]{\mathsf{108}}}{3}\:cm}$

$\mathsf{A_{\:AOG} = \dfrac{1}{2}\:.\:\overline{\rm AO}\:.\:\overline{\rm OG}\:.\:sen\:A \widehat OG}$

$\mathsf{A_{\:AOG} = \dfrac{1}{2}\:.\:r^2\:.\:sen\:A \widehat OG}$

$\mathsf{A_{\:AOG} = \dfrac{1}{2}\:.\:\dfrac{32}{3}\:.\:sen\:120\textdegree}$

$\mathsf{A_{\:AOG} = \dfrac{1}{2}\:.\:\dfrac{32}{3}\:.\:\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

$\mathsf{A_{\:AOG} = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\:cm^2}$

$\mathsf{A_{\:AFE} = \dfrac{1}{2}\:.\:\overline{\rm AF}\:.\:\overline{\rm FE}\:.\:sen\:F \widehat AE}$

$\mathsf{A_{\:AFE} = \dfrac{1}{\not2}\:.\:\dfrac{\not2\sqrt[\mathsf{4}]{\mathsf{108}}}{3}\:.\:2\sqrt[\mathsf{4}]{\mathsf{12}}\:.\:sen\:30\textdegree}$

$\mathsf{A_{\:AFE} = \dfrac{1}{\not2}\:.\:\dfrac{\not2\sqrt[\mathsf{4}]{\mathsf{108}}}{3}\:.\:\not2\sqrt[\mathsf{4}]{\mathsf{12}}\:.\:\dfrac{1}{\not2}}$

$\mathsf{A_{\:AFE} = \dfrac{\sqrt[\mathsf{4}]{\mathsf{1.296}}}{3} = \dfrac{6}{3}}$

$\mathsf{A_{\:AFE} = 2\:cm^2}$

$\mathsf{A_{\:FEOG} = A_{\:AOG} - A_{\:AFE}}$

$\mathsf{A_{\:FEOG} = \dfrac{8\sqrt{3}}{3} - 2}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{A_{\:FEOG} = \left(\dfrac{8\sqrt{3} - 6}{3}\right)\:cm^2}}}$