Question

5) (2012) Dois trens viajam com velocidades constantes. Em comparação com o trem mais rápido, o trem mais lento demora 5 minutos a mais para percorrer 6 km e, num intervalo de 20 minutos, percorre 4 km a menos. Qual é a velocidade, em quilômetros por hora, do trem mais rápido?​

Answer 1

Resposta:

36 km/h

Explicação passo a passo:

Sabemos que a relação entre velocidade, distância e tempo é:

$v = \frac{d}{t}$

Vamos considerar que o trem 1 é o mais rápido (velocidade maior, ou seja  maior distância em menor tempo) e que o trem 2 é o mais lento.

Assim, teremos para a distância de 6 km:

$v = \frac{d}{t} \Leftrightarrow d = vt$

Daí:

$6 = v_1 \cdot t_1$

E

$6= v_2 \cdot t_2 \Leftrightarrow 6 = v_2 \cdot (t_1+ \frac{5}{60})$

Já passando, claro, os 5 minutos para horas. Agora vamos ver a segunda situação. Nesta o trem mais lento percorre, no mesmo tempo uma distância 4 km menor. Então, com o tempo em horas:

$v_1 = \frac{d_1}{t_1} \Leftrightarrow v_1 = \frac{d_1}{\frac{20}{60}} \Leftrightarrow d_1 = v_1 \cdot \frac{1}{3}$

Para o trem mais lento:

$v_2 = \frac{d_2}{t_2} \Leftrightarrow d_2 = v_2 \cdot {\frac{20}{60}} \Leftrightarrow d_1 - 4 = v_2 \cdot \frac{1}{3}$

Agora podemos escrever:

$\underbrace{v_1 \cdot \frac{1}{3} - 4}_{d_1} = \underbrace{v_2 \cdot \frac{1}{3}}_{d_2}$

Mas, lá no começo obtivemos as velocidades em função do tempo.

$\frac{6}{t_1} \cdot \frac{1}{3} - 4 = \frac{6}{t_1 + \frac{5}{60}} \cdot \frac{1}{3}$

Simplificando o que for possível:

$\frac{2}{t_1} - 4 = \frac{2}{t_1 + \frac{1}{12}}$

Continuando:

$\frac{2}{t_1} - 4 = \frac{24}{12t_1 + 1} \Leftrightarrow \frac{2}{t_1} - \frac{24}{12t_1 + 1} = 4$

Logo:

$\frac{2 \cdot (12t_1 + 1) - 24 \cdot t_1}{t_1 \cdot (12t_1 + 1)}= 4 \Rightarrow 24t_1 + 2 - 24t_1 = 4 \cdot t_1 \cdot (12t_1 + 1)$

Finalmente chegando a:

$2 = 48(t_1)^2 + 4t_1 \Rightarrow 48(t_1)^2 + 4t_1 - 2 = 0$

Solucionando:

$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 48 \cdot (-2) = 16 + 384 = 400$

Então:

$t_1 = \frac{-4\pm\sqrt{400}}{2 \cdot 48} = \frac{-4\pm20}{2\cdot 48}$

Temos então duas possibilidades:

$t_1 = \frac{16}{2 \cdot 48} = \frac{1}{6}\,\textrm{h}$

Ou

$t_1 = \frac{-24}{2 \cdot 48} = -\frac{1}{4}\,\textrm{h}$

Que não convém. Agora sim, tendo o tempo, podemos calcular as velocidades.

$6 = v_1t_1 \Leftrightarrow v_1 = 36\,\textrm{km/h}$

E o outro:

$v_2 = \frac{6}{\frac{1}{6} + \frac{1}{12}} \Rightarrow v_2 = 24\,\textrm{km/h}$