Question

Pessoal, me ajudem...
Como resolvo isso?

Answer 1

Olá, Robertotf.

Diz-se que uma função real $f(x)$ é limitada se existe um valor real constante $M\geq0$ tal que:

$|f(x)|\leq M,~~\forall x\in D_f$

Como $[g(x)]^2+[f(x)]^2=2,$ temos, simultaneamente, que:

$\begin{cases} [g(x)]^2=2-[f(x)]^2\Rightarrow [g(x)]^2\leq2\Rightarrow |g(x)|\leq\sqrt2\\ [f(x)]^2=2-[g(x)]^2\Rightarrow [f(x)]^2\leq2\Rightarrow |f(x)|\leq\sqrt2 \end{cases}$

Demonstramos, acima, portanto, que as funções $f$ e $g$ são limitadas.

Observe agora a propriedade dos limites que enunciaremos a seguir.
Do teorema do confronto ou teorema do "sanduíche" decorre a seguinte propriedade dos limites:

"Sejam duas funções $f$ e $g$ de contra-domínio real. Se $f$ é limitada, e se $\lim\limits_{x\to a} g(x)=0,$ então $\lim\limits_{x\to a} f(x)g(x)=0.$"

Aplicando esta propriedade aos exercícios, temos que os limites dos itens "a" e "b" são ambos iguais a zero, pois:

1) $\lim\limits_{x\to0}x^5=0$ e $\lim\limits_{x\to3}\sqrt{x^3-27}=0$;

2) as funções $f$ e $g$ são limitadas.