Question

Racionalize o denominador dessa expressão:
pfv$\frac{2-2\sqrt{2} }{2 -\sqrt{2} }$

Answer 1

Segundo a resolução abaixo, a racionalização do denominador desta expressão resulta em  $-\sqrt{2}$.

Vamos entender o porquê?

A racionalização de denominadores consiste em aplicar um conjunto de operações que não alterem o valor do quociente, mas que o transformem num quociente de denominador inteiro.

Para tal, geralmente multiplicamos e dividimos pelo denominador (se for apenas uma raiz) ou pelo conjugado do denominador (se for uma adição de raízes).

Devemos relembrar, para nos ajudar com este exercício, que o conjugado de uma expressão do tipo  $\sqrt{a}-\sqrt{b}$  é  $\sqrt{a}+\sqrt{b}$, e vice-versa.

Com isto em mente, passemos às contas:

    $\dfrac{2-2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=2\times\dfrac{1-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{2-2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=2\times\dfrac{(1-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{2-2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=2\times\dfrac{(1-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{2^2-(\sqrt{2})^2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{2-2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=2\times\dfrac{(1-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{4-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{2-2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\slash\!\!\!2\times\dfrac{(1-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{\slash\!\!\!2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{2-2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=(1-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{2-2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}-2\sqrt{2}-(\sqrt{2})^2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{2-2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=2-\sqrt{2}-2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{2-2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$

Assim, conclui-se que a racionalização do denominador desta expressão resulta em  $-\sqrt{2}$.

Nota: Neste tipo de exercícios, nem sempre deixamos de ter um quociente, sendo esse, até, o caso mais comum.

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