Question

A raiz da função f(x) = x3- 8x deve ser calculada empregando o Método de Newton Raphson. Assim, considerando-se o ponto inicial x0= 2, tem-se que a próxima iteração (x1) assume o valor:

Answer 1

Fazendo os cálculos e usando corretamente a fórmula dada pelo método de Newton Raphson, concluímos que o valor da seguinte interação é igual a 4.

O problema menciona que a raiz de uma função f(x) = x³-8x deve ser calculada pelo método de Newton Raphson, para usar este método devemos encontrar um ponto de partida, em nosso problema o ponto de partida x0 é igual a 2 e conforme para isso, ele nos pede para calcular a próxima interação, ou seja, o ponto x1.

Para usar este método deve haver uma fórmula ou alguma propriedade, isso é habitual para matemática, para o método de Newton Raphson existe a fórmula:

$\displaystyle \rm{\large{\bold{x _ {n+1}=x _ n -\dfrac{f(x _ n)}{f ' (x _ n)}}}}$

Onde:

• $\bold{x _ {n+1}}$: Seria o próximo ponto de interação da função (queremos encontrar isso)

• $\bold{x _ {n}}$: O ponto de interação de onde vamos começar (já sabemos seu valor)

• $\bold{f(x _ n)}$: É o valor do ponto inicial quando é substituído em nossa função (não conhecemos esses dados, mas podemos encontrá-los)

• $\bold{f ' (x _ n})$: É o valor do ponto inicial quando é substituído na derivada desta função (também não conhecemos este dado, mas podemos encontrá-lo diferenciando e substituindo em nossa função).

Para o ponto x1 a fórmula seria expressa para a seguinte expressão:

$\displaystyle \rm{\large{\bold{x _ {1}=x _ 0 -\dfrac{f(x _ 0)}{f' (x _ 0)}}}}$

Para iniciar o cálculo vamos encontrar o valor da função quando o ponto de partida é substituído, se substituirmos esse valor devemos obter:

$\displaystyle \rm{\large{\bold{f(2) = 2^3-8(2)}}}\\ \\ \displaystyle \rm{\large{\bold{f(2)=8-16}}} \\ \\ \displaystyle \rm{\large{\bold{f(2)=-8}}}$

Se quisermos calcular o valor do ponto inicial quando substituído na derivada da função, devemos primeiro encontrar a derivada, encontramos a derivada:

$\displaystyle \rm{\large{\bold{f '(x)=x ^3 - 8 x}}}\\ \\ \displaystyle \rm{\large{\bold{f ' (x) = 3 x ^{3-1} - 8 x ^{1-1}}}}\\ \\ \displaystyle \rm{\large{\bold{ f '(x) = 3 x^{2}- 8 x ^0\Leftrightarrow f ' (x) = 3x ^ 2 - 8}}}$

Agora substituímos o valor do ponto de partida nessa derivada e, assim, obtemos um resultado diferente.

$\displaystyle \rm{\large{\bold{ f ' (2) = 3 (2)^2 -8}}}\\ \\ \displaystyle \rm{\large{\bold{ f ' (2) = 3 (4) -8}}}\\ \\ \displaystyle \rm{\large{\bold{ f ' (2) = 12 -8}}}\\ \\ \displaystyle \rm{\large{\bold{ f ' (2) = 4}}}$

Como já calculamos o valor dos dados necessários para calcular o valor da interação a seguir, a substituição na fórmula seguirá agora:

$\displaystyle \rm{\large{\bold{x _ {1}=2 +\dfrac{8}{4}}}}\\\\ \displaystyle \rm{\large{\bold{x _ {1}=2 +2}}}\\ \\\green{\boxtimes ~\boxed{\displaystyle \rm{\large{\bold{x _ {1}=4}}}}}$

Concluímos que o próximo ponto de interação é igual a 4.

Se você quiser ver mais sobre Newton Raphson, confira os links a seguir:

• https://brainly.com.br/tarefa/4976085
• https://brainly.com.br/tarefa/15278062

Bons estudos ! :)