Question

O valor doo cálculo para a área sob a curva f(x)=raiz de x, acima do intervalo de [1,9] corresponde exatamente:

Answer 1

Boa tarde Carossi!

Solução!

Teorema .

Sendo a função!

$f(x)= \sqrt{x}$


Se f é uma função continua em [a,b] e se p é uma primitiva de f então.


$\boxed{\displaystyle{\int _{a} ^{b}}f(x)dx=p(x) \bigg|_{a}^{b} =p(b)-p(a) }$

Vamos escrever a função como uma integral dentro do intervalo especificado.

$\displaystyle \int\limits^9_1 { (\sqrt{x}) } \, dx \\\\\\\\\ \displaystyle \int\limits^9_1 { (x^{ \frac{1}{2} } ) } \, dx \\\\\\\\\\ \displaystyle \int\limits^9_1 \frac{{ (x^{ \frac{1}{2} +1} ) }}{ \frac{1}{2} +1} \, dx \\\\\\\\\ \displaystyle \int\limits^9_1 \frac{{ (x^{ \frac{3}{2}} ) }}{ \frac{3}{2}} \, dx \\\\\\\\\ \displaystyle \int\limits^9_1 \frac{2}{3} \sqrt{x^{3} }\Rightarrow\bigg|_{1}^{9}= \left ( \frac{2 \sqrt{ x^{3} }}{3}\right ) - \left (\frac{2 \sqrt{ x^{3} } }{3}\right )$

$\displaystyle \int\limits^9_1 \frac{2}{3} \sqrt{x^{3} }\Rightarrow\bigg|_{1}^{9}= \left ( \frac{2 \sqrt{ 9^{3} }}{3}\right ) - \left (\frac{2 \sqrt{ 1^{3} } }{3}\right )\\\\\\\\ \displaystyle \int\limits^9_1 \frac{2}{3} \sqrt{x^{3} }\Rightarrow\bigg|_{1}^{9}= \left ( \frac{2 \sqrt{ 729 }}{3}\right ) - \left (\frac{2 \sqrt{ 1} }{3}\right )$

$\displaystyle \int\limits^9_1 \frac{2}{3} \sqrt{x^{3} }\Rightarrow\bigg|_{1}^{9}= \left ( \frac{2 (27)}{3}\right ) - \left (\frac{2 (1) }{3}\right )\\\\\\\\ \displaystyle \int\limits^9_1 \frac{2}{3} \sqrt{x^{3} }\Rightarrow\bigg|_{1}^{9}= \left ( \frac{54}{3}\right ) - \left (\frac{2 }{3}\right )\\\\\\\\ \displaystyle \int\limits^9_1 \frac{2}{3} \sqrt{x^{3} }\Rightarrow\bigg|_{1}^{9}= \left ( \frac{54}{3}\right ) - \left (\frac{2 }{3}\right )$

$\displaystyle \int\limits^9_1 \frac{2}{3} \sqrt{x^{3} }\Rightarrow\bigg|_{1}^{9}= \left ( \frac{54-2}{3}\right )\right )\\\\\\\\ \displaystyle \int\limits^9_1 \frac{2}{3} \sqrt{x^{3} }\Rightarrow\bigg|_{1}^{9}= \left ( \frac{52}{3}u.a\right )\right )$

$\boxed{Resposta: Alternativa~~D}$

Boa tarde!

Bons estudos!