Question

Com a necessidade de integrar a função f(x) = (x+5)/x^2+x-2 podemos reescrever a mesma como:

Answer 1

✅ Ao decompor em frações parciais, obteremos  $\rm f(x) = \tfrac{2}{(x-1)} - \tfrac{1}{(x+2)}$

 

☁ Por se tratar de uma função racional, devemos proceder com uma decomposição em frações parciais, de forma a simplificar a integração.

 

✍ Solução:

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm {\large{f(x) = \dfrac{x+5}{\underbrace{\rm \bcancel{x^2 + x - 2}}_{\rm (x-1)(x+2) }}}} &=\rm \dfrac{A}{(x-1)} + \dfrac{B}{(x+2)} \\\\ &=\rm \dfrac{A(x+2)}{(x-1)(x+2)} + \dfrac{B(x-1)}{(x+2)(x-1)} \\\\&=\rm \dfrac{A(x+2) + B(x-1)}{\bcancel{x^2+x-2}} \\\\&=\rm A(x+2) + B(x-1)\\\\\rm x+5&=\rm Ax+2A + Bx-B \end{aligned} \end{array}$

 

❏ Note que caímos em um sistema de equações $\rm 2\times2$

$\large\begin{array}{lr}\rm \begin{cases} \rm (A + B )x = x \\\rm 2A - B = 5 \end{cases} \sim ~~\begin{cases} \rm A + B = 1~~~~ (i)\\\rm 2A - B = 5 ~~(ii) \end{cases} \\\\\rm (i)~~ A = 1-B \\\\\rm (ii) ~~ 2(1-B)-B = 5 \Rightarrow - 3B = 3 \Rightarrow B =-1~\land~ A = 2 \end{array}$

 

❏ Portanto:

$\large\begin{array}{lr}\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: f(x) = \dfrac{x+5}{x^2 +x-2} = \dfrac{2}{(x-1)} - \dfrac{1}{(x+2)} }}}} \end{array}$

 

✔ Dessa forma, podemos reescrever a função dessa maneira, a fim de facilitar a primitivação.

 

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre decomposição em frações parciais, integral de funções racionais:

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$