Question

Verifique se as retas r:X=(1,1,1)+t(2,1,-3) e s:X=(0,1,0)+t(-1,2,0) são ortogonais.

Answer 1

Realizados os cálculos, podemos afirmar que as retas r e s são, de fato, ortogonais!

Nesta questão é fornecida a equação das retas r e s, já na sua forma vetorial:

$\rm{r:X=(1,1,1)+t\;(2,1,-3)}\\\\\rm{s:X=(0,1,0)+t\;(-1,2,0)}$

Para verificarmos se estas retas são ortogonais, devemos recorrer à condição de ortogonalidade entre retas, a qual enuncia que:

"Duas retas são ortogonais entre si quando o produto escalar entre seus vetores diretores for igual a 0"

Das retas mostradas, temos que o primeiro ponto representa aonde a reta "passa", ao passo que a terna que acompanha o termo t representa a direção dessa reta, ou seja, é seu vetor diretor. Desse modo, teremos os seguintes vetores diretores:

$\overrightarrow{\rm{u}}=\rm{(2,1,-3)}\\\\\overrightarrow{\rm{v}}=\rm{(-1,2,0)}$

Fazendo o produto interno entre estes, teremos:

$\overrightarrow{\rm{u}}\cdot \overrightarrow{\rm{v}}=\rm{(2,1,-3)\cdot (-1,2,0)}\\\\\overrightarrow{\rm{u}}\cdot \overrightarrow{\rm{v}}=\rm{2\cdot (-1)+1\cdot 2+(-3)\cdot 0}\\\\\overrightarrow{\rm{u}}\cdot \overrightarrow{\rm{v}}=\rm{-2+2+0}\\\\\large\boxed{\boxed{\boxed{\overrightarrow{\rm{u}}\cdot \overrightarrow{\rm{v}}=\rm{0}}}}~\checkmark~$

Uma vez que o produto interno entre os vetores diretores é nulo, podemos afirmar que as retas são, de fato, ortogonais.

Espero que te ajude!

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