Question

Sabendo que a reta r tem equação r:(x, y, z)=(8, 7, -2)+t(2, 5, 1) e o plano α é dado por α :(0, 1, 0)+t1(-2, -3, 6)+t2(1, 2, -1), obtenha o ângulo entre r e α .
a-1,06°
b-22,21°
c-49,12°
d-88,18°

Answer 1

O ângulo formado entre o plano e a reta no espaço é de a) 1,06º.

Como se achar o ângulo entre o plano e a reta?

Tendo-se que o vetor diretor da reta 'r' é (2,5,1), extraído da sua equação vetorial, o vetor associado ao plano pode ser obtido mediante o produto vetorial de dois vetores pertencentes ao plano:

$v=(-2,-3,6)\times (1,2,-1)=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-2&-3&6\\1&2&-1\end{array}\right] =\\\\=(-3.(-1)-2.6,-(-2)(-1)+1.6,-2.2-1(-3))=(-9,4,-1)$

Mediante o produto escalar é possível achar o ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor associado ao plano, a medida desse ângulo é:

$(2,5,1).(-9,4,-1)=||2,5,1||.||-9,4,1||.cos(\theta)\\\\cos(\theta)=\frac{2(-9)+5.4+1(-1)}{\sqrt{2^2+5^2+1^2}\sqrt{(-9)^2+4^2+(-1)^2}}\\\\cos(\theta)=\frac{1}{\sqrt{30}\sqrt{98}}\\\\\theta=cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2940}})=88,94\º$

O ângulo formado entre a reta e o plano é igual ao ângulo complementar do ângulo entre a reta e o vetor associado. Então, o ângulo entre o plano e a reta é:

$\sigma=90\º-88,94\º=1,06\º$.

Saiba mais sobre retas e planos no espaço em https://brainly.com.br/tarefa/44951085

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