Question

sega fx= x ao cubo+x ao quadrado-5x-5 determine<br />os pontos críticos da função fx. os pontos de máximo e mínimo se existirem e os pontos de inflexão

Answer 1

Boa tarde Josimara!

Solução!

Para encontrar os pontos críticos da função temos que derivar a função.

$f(x)= x^{3}+ x^{2} -5x+5\\\\\ f'(x)=3 x^{2} +2x-5$

Os pontos críticos são as raizes da função derivada.

$3 x^{2} +2x-5=0\\\\\\ x= \dfrac{-2\pm \sqrt{2^{2}-4.3.-5} }{2.3} \\\\\\ x= \dfrac{-2\pm \sqrt{4+60} }{6} \\\\\\ x= \dfrac{-2\pm \sqrt{64} }{6} \\\\\\ x= \dfrac{-2\pm 8 }{6} \\\\\\ x_{1}= \dfrac{-2+8}{6}= \dfrac{6}{6}=1\\\\\\ x_{2}= \dfrac{-2-8}{6}= \dfrac{-10}{6}= -\dfrac{5}{3} \\\\\\\\\ \boxed{Resposta:Pontos~~criticos~~x_{1}=1~~e~~x_{2}= -\dfrac{5}{3}}$

Conhecendo os pontos críticos vamos substituir na função derivada para encontramos o ponto de máximo e o ponto de minimo.

$Condicao\\\\ f''(x)\ \textgreater \ o\Rightarrow Crescente\\\\\\ f''(x)\ \textless \ 0\Rightarrow decrescente$


$\underline {-2~~~~~~~~~~ -\frac{5}{2}~~~~~~~~0~~~~~~~~~~~~1~~~~~~2 }}\\\\\\\ f'(x)=3 x^{2} +2x-5\\\\\ f'(-2)=3 (-2)^{2} +2(-2)-5\\\\\ f'(-2)=3.4-4-5\\\\\ f'(-2)=12-9\\\\\ f'(-2)=3~~\ \textgreater \ 0~~Crescente\\\\\\\ f'(x)=3 x^{2} +2x-5\\\\\ f'(0)=3 (0)^{2} +2(0)-5\\\\\ f'(0)=0+0-5\\\\\ f'(0)=-5\ \textless \ 0~~decrescente\\\\\\\\\\ f'(x)=3 x^{2} +2x-5\\\\\ f'(2)=3 (2)^{2} +2(2)-5\\\\\ f'(2)=3 .4 +4-5\\\\\ f'(2)=12+4-5\\\\\ f'(2)=11\ \textgreater \ 0~~Crescente$

$\boxed{Resposta:x=- \frac{5}{3} \Rightarrow~~Ponto~~ de~~ maximo}\\\\\ \boxed{Resposta:x=1\Rightarrow Ponto~~de~~minimo}$

O ponto de inflexão é o valor da segunda derivada.

$f'(x)=3 x^{2} +2x-5\\\\\ f''(x)=6x+2 \\\\\ 6x+2=0\\\\ 6x=-2\\\\ x= -\dfrac{2}{6}\\\\\ Simplificando!\\\\\ x=- \dfrac{1}{3}\\\\\\ \boxed{Resposta:x=- \frac{1}{3} \Rightarrow Ponto~~de~~inflexao}$

Para encontrar a ordenada do ponto de inflexão basta substituir na primeira função.$f(x)= x^{3}+ x^{2} -5x+5$

Vou anexar um gráfico para ajudar na compreensão.

Boa tarde!
Bons estudos