Question

O paralelogramo ABCD pertence a um plano cartesiano, em que A (1, 1), B (3, 3), C (6, 1) e D (X, Y)

Answer 1

Vamos lá.

Você deverá estar querendo o valor das coordenadas "x" e "y" do vértice D(x; y), do paralelogramo que tem os vértices A(1; 1), B(3; 3); C(6; 1) e D(x; y).
Se for isso mesmo, então note que: AB = CD; e BC = AD.

Assim, vamos calcular as distâncias A(1; 1) a B(3; 3) e C(6; 1) a D(x; y) e depois igualá-las, já que elas são iguais.
Depois faremos o mesmo com as distâncias B(3; 3) a C(6; 1) e A(1; 1) a D(x; y) e depois, também as igualaremos, pois elas também são iguais.
Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Calculando a distância (d) de A(1; 1) a B(3; 3). Assim, teremos:

(dAB)² = (3-1)² + (3-1)²
(dAB)² = (2)² + (2)²
(dAB)² = 4 + 4
(dAB)² = 8      . (I)

ii) Calculando a distância (d) de C(6; 1) a D(x; y):

(dCD)² = (x-6)² + (y-1)² ---- desenvolvendo os quadrados, teremos;
(dCD)² = x²-12x+36 + y²-2y+1 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, teremos:

(dCD)² = x²+y² - 12x - 2y + 37    . (II)

iii) Calculando a distância (d) de B(3; 1) a C(6; 1). Assim:

(dCD)² = (6-3)² + (1-1)²
(dCD)² = (3)² + (0)²
(dCD)² = 9 + 0
(dCD)² = 9    . (III)

iv) Calculando a distância (d) de A(1; 1) a D(x; y). Assim:

(dAD)² = (x-1)² + (y-1)²
(dAD)² = x²-2x+1 + y²-2y+1 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, teremos:

(dAD)² = x² + y² - 2x - 2y + 2    . (IV)

v) Agora vamos igualar as distâncias AB a CD; e depois BC a AD.

v.a) igualando as expressões (I) e (II), teremos:

8 = x² + y² - 12x - 2y + 37 ---- passando "8" para o 2º membro, temos:
0 = x² + y² - 12x - 2y + 37 - 8 --- ou, o que é a mesma coisa:
x² + y² - 12x - 2y + 29 = 0 ----- passando "29" para o 2º membro, temos:
x² + y² - 12x - 2y = - 29    . (V)

v.b) igualando as expressões (III) e (IV), teremos:

9 = x² + y² - 2x - 2y + 2 ----- passando "9" para o 2º membro, teremos;
0 = x² + y² - 2x - 2y + 2 - 9 ---- ou, o que é a mesma coisa:
x² + y² -  2x - 2y - 7 = 0 ---- passando "-7" para o 2º membro, teremos:
x² + y² - 2x - 2y = 7      . (VI)

vi) Agora veja que ficamos com um sistema de equações formado pelas expressões (V) e (VI), que são estas:

x² + y² - 12x - 2y = - 29    . (V)
x² + y² - 2x - 2y = 7      . (VI)

Vamos fazer o seguinte: multiplicaremos a expressão (V) por "-1" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (VI). Assim, teremos:

- x² - y² + 12x + 2y = 29 --- [esta é a expressão (V) multiplicada por "-1"]
..x² + y² - 2x - 2y = 7 ------ [esta é a expressão (VI) normal]
----------------------------------------- somando membro a membro, teremos:
0 + 0 + 10x + 0 = 36 --- ou apenas:
10x = 36
x = 36/10 ---- dividindo-se numerador e denominador por "3", teremos:
x = 18/5 <--- Este é o valor da abscissa "x", do ponto D(x; y).

Agora, para encontrar o valor da ordenada (y), desse mesmo ponto, vamos em quaisquer uma das expressões e, em quaisquer um deles, substituiremos "x" por "18/5".
Vamos na expressão (VI), que é esta:

x² + y² - 2x - 2y = 7 ----- substituindo-se "x" por "18/5", teremos:
(18/5)² + y² - 2*18/5 - 2y = 7
324/25 + y² - 36/5 - 2y = 7 ---- mmc entre "25" e "5" = 25. Assim, utilizando-o em toda a expressão, teremos:

1*324 + 25*y² - 5*36 - 25*2y = 25*7
324 + 25y² - 180 - 50y = 175 ---- vamos primeiro ordenar o 1º membro e reduzir os seus termos semelhantes, ficando:

25y² - 50y + 144 = 175 ---- agora colocaremos "175" para o 1º membro, ficando:

25y² - 50y + 144 - 175 = 0 , ou apenas:
25y² - 50y - 31 = 0 ---- aplicando Bháskara, vamos encontrar as seguintes raízes:

y' = (5-2√14)/5
y'' = (5+2√14)/5

Assim, resumindo, teremos que os valores de "x" e de "y" poderão ser estes:

x = 18/5; y = (5+2√14)/5
ou
x = 18/5; y = (5-2√14)/5

Pronto. Os valores de "x" e de "y",do ponto D(x; y) poderão ser os que demos aí em cima. Em outras palavras, o ponto D poderá ter as seguintes coordenadas: ou D[18/5; (5+2√14)/5], ou D[18/5; (5-2√14)/5]

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.