Question

Sabendo-se que TgX = -3 ...

Answer 1

Resposta:

Letra D

Explicação passo a passo:

Como x pertence ao segundo quadrante, senx > 0 e cosx < 0

$tgx = - 3 \implies tg^2x=9 \implies tg^2x + 1 = 9 + 1 \implies sec^2x=10 \implies cos^2x=\frac{1}{10} \impliescosx=-\frac{1}{\sqrt{10} } \\\\sen^2x =1-cos^2x \implies sen^2x= 1 -\frac{1}{\s10 }=\frac{9}{10} \implies senx=\frac{3}{\sqrt{10} }$

$senx + coax = \frac{3}{\sqrt{10} } -\frac{1}{\sqrt{10} }=\frac{2}{\sqrt{10} } =\frac{2\sqrt{10} }{10} =\frac{\sqrt{10} }{5}$

Answer 2

Resposta:

Letra D

Explicação passo a passo:

Sabemos que $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, como $\tan x=-3$, segue que

$\dfrac{\sin x}{\cos x}=-3\Rightarrow \boxed{\sin x=-3\cos x}$

Além disso, da relação fundamental da trigonometria temos que

$\sin^2x+cos^2x=1$

Substituindo $\sin x=-3\cos x$, obtemos

$(-3\cos x)^2+\cos^2 x=1\\\\9\cos^2x+\cos^2x=1\\\\10\cos^2x=1\\\\cos^2x=\dfrac{1}{10}\\\\\cos x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{10}}\quad\mbox{racionalizando}\\\\\\\cos x=\pm\dfrac{\sqrt{10}}{10}$

Porém $\dfrac{\pi}{2} < x < \pi$, ou seja $\cos x$ pertence ao segundo quadrante, e nesse quadrante o cosseno é negativo, logo ficamos com $\boxed{\cos x=-\dfrac{\sqrt{10}}{10}}$

Além disso, sabemos que $\sin x =-3\cos x$, logo

$\sin x=-3(-\dfrac{\sqrt{10}}{10})\Rightarrow \boxed{\sin x=\dfrac{\sqrt{10}}{10}}$

Portanto, a soma será

$\sin x+\cos x=3\dfrac{\sqrt{10}}{10}-\dfrac{\sqrt{10}}{10}\\\\\sin x+\cos x=2\dfrac{\sqrt{10}}{10}\quad\mbox{simplificando por 2}\\\\\boxed{\boxed{\sin x+\cos x=\dfrac{\sqrt{10}}{5}}}$