Question

A soma dos n primeiros termos de uma sequência (a1, a2, a3, a4,. ) é dada por Sn= 5n2 + n, para todo número natural n não nulo. Qual é o valor do 5° termo dessa sequência?

Answer 1

Resposta:   $a_5=46.$

Explicação passo a passo:

Sendo $S_n$ a sequência das somas parciais dos n primeiros termos da sequência $a_n,$ então podemos escrever a seguinte recorrência:

    $S_n=\left\{\begin{array}{ll}a_1&\quad\mathrm{se~}n=1\\\\ S_{n-1}+a_n&\quad\mathrm{se~}n > 1 \end{array}\right.$

onde $S_n=5n^2+n$ para todo $n\in\mathbb{N}^*.$

Em particular, para $n>1,$ temos

    $S_n=S_{n-1}+a_n\\\\ \Longleftrightarrow\quad a_n=S_n-S_{n-1}$

Substituindo $n=5$ na igualdade acima, obtemos o quinto termo da sequência $a_n:$

    $\begin{array}{l} a_5=S_5-S_4\\\\a_5=\big(5\cdot (5)^2+(5)\big)-\big(5\cdot (4)^2+(4)\big)\\\\ a_5=(125+5)-(80+4)\\\\ a_5=130-84\\\\ a_5=46\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}\end{array}$

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Bons estudos! :-)