Question

Prove as afirmações abaixo:

a) se a é um inteiro ímpar, então a^2 ≡ 1(mod 8);

b) para qualquer inteiro a, a^3 ≡ 0, 1ou 6(mod 7);

c) para um inteiro a, a^4 ≡ 0 ou 1(mod 5);

d) se um inteiro a não é divisível por 2 ou 3, então a^2 ≡ 1(mod 24)

alguém poderia ajudar ​

Answer 1

a) Se a é um inteiro ímpar, então ele é da forma a=2k+1, $k\in\mathbb{Z}$ e seu quadrado é $a^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1$. Note que a parcela $4k^2+4k=4k(k+1)$ é divisível por 8, pois se k for par então 4k é divisível por 8 e se k for impar, então k+1 será par e portanto irá possuir um fator 2, o que tornaria a parcela 4k(k+1) divisível por 8, assim $4k^2+4k\equiv0(mod\,8)$ e também, tem-se $1\equiv 1(mod\,8)$, somando ambas obtemos

$a^2=4k^2+4k+1\equiv0+1(mod\,8)\Rightarrow a^2\equiv(mod\,8)$

b) Por meio do algoritmo da divisão, se tentarmos dividir a por 7, então a será da forma a=7k, a=7k+1, a=7k+2, a=7k+3, a=7k+4, a=7k+5 e a=7k+6, logo

$7k\equiv0(mod\,7)\Rightarrow (7k^3)\equiv0^3\equiv0(mod\,7)\Rightarrow (7k)^3\equiv0(mod\,7)\\\\7k+1\equiv1(mod\,7)\Rightarrow (7k+1)^3\equiv1^3\equiv1(mod\,7)\Rightarrow (7k+1)^3\equiv1(mod\,7)\\\\7k+2\equiv2(mod\,7)\Rightarrow (7k+1)^3\equiv2^3\equiv1(mod\,7)\Rightarrow (7k+2)^3\equiv1(mod\,7)\\\\7k+3\equiv3(mod\,7)\Rightarrow (7k+3)^3\equiv3^3\equiv6(mod\,7)\Rightarrow (7k+3)^3\equiv6(mod\,7)\\\\7k+4\equiv4(mod\,7)\Rightarrow (7k+4)^3\equiv4^3\equiv1(mod\,7)\Rightarrow (7k+4)^3\equiv1(mod\,7)$

$7k+5\equiv5(mod\,7)\Rightarrow (7k+5)^3\equiv5^3\equiv6(mod\,7)\Rightarrow (7k+5)^3\equiv6(mod\,7)\\\\7k+6\equiv6(mod\,7)\Rightarrow (7k+4)^3\equiv6^3\equiv1(mod\,7)\Rightarrow (7k+6)^3\equiv6(mod\,7)$

Portanto, $a^3\equiv0,1\,\mbox{ou}\,\,6(mod\,7)$

c) Análogo ao item b), sabemos por meio do algoritmo da divisão que a é da forma a=5k, a=5k+1, a=5k+2, a=5k+3 e a=5k+4, logo

$5k\equiv0(mod\,5)\Rightarrow (5k)^4\equiv0^4\equiv0(mod\,5)\Rightarrow (5k)^4\equiv0(mod\,5)\\\\5k+1\equiv1(mod\,5)\Rightarrow (5k+1)^4\equiv1^4\equiv1(mod\,5)\Rightarrow (5k+1)^4\equiv1(mod\,5)\\\\5k+2\equiv2(mod\,5)\Rightarrow (5k+2)^4\equiv2^4\equiv1(mod\,5)\Rightarrow (5k+2)^4\equiv1(mod\,5)\\\\5k+3\equiv3(mod\,5)\Rightarrow (5k+3)^4\equiv3^4\equiv1(mod\,5)\Rightarrow (5k+3)^4\equiv1(mod\,5)\\\\5k+4\equiv4(mod\,5)\Rightarrow (5k+4)^4\equiv4^4\equiv1(mod\,5)\Rightarrow (5k+4)^4\equiv1(mod\,5)$

$5k+5\equiv5(mod\,5)\Rightarrow (5k+5)^4\equiv5^4\equiv0(mod\,5)\Rightarrow (5k+2)^4\equiv0(mod\,5)$

Portanto, $a^4\equiv0\,\mbox{ou}\,\,1(mod\,5)$

d) Ao tentarmos dividir a por 6 obtemos números da forma a=6k, a=6k+1, 6k+2, a=6k+3, a=6k+4 e a=6k+5, porém os números a=6k, a=6k+2, a=6k+3 e a=6k+4 são divisíveis por 2 ou 3, logo tomemos apenas a=6k+1 e a=6k+5

Para a=6k+1

$(6k+1)^2=36k^2+12k+1=12k(3k+1)+1$

Convém notar que a parcela 12k(k+1) é divisível por 24, pois se k for par então 12k será divisível por 24, e se k for ímpar 3k+1 será par e ira possuir um fator 2 o que torna 12k(3k+1) divisível por 24,logo $36k^2+12k\equiv0(mod\,24)$ e também $1\equiv1(mod\,24)$, somando ambas

$a^2=36k^2+12k+1\equiv0+1(mod\,24)\Rightarrow a^2\equiv1(mod\,24)$

Para a=6k+5 é análogo. Portanto $a^2\equiv1(mod\,8)$