Question

A = $\left[\begin{array}{cc}2&x^2\\2x-1&0\end{array}\right]$ e é Simétrica, qual o valor de x?

Answer 1

De acordo com a definição de matriz simétrica, obtemos x = 1.

Para resolver essa questão, primeiro devemos nos lembrar do conceito de Matriz Transposta.

A transposta de uma matriz terá os mesmos elementos que a matriz original, porém em posições diferentes, veja:

$\boxed{\mathrm{A_{i,j}=A^t_{j,i}}}$

As colunas da matriz A serão as linhas da matriz A^t.

$A=\left[\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right] \rightarrow A^t= \left[\begin{array}{cc}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\end{array}\right]$

O exercício informa que A é uma matriz simétrica, ou seja, é igual à sua transposta ($\mathrm{A=A^t}$).

Sabendo disso, vamos calcular a matriz transposta de A e igualar seus elementos:

$A= A^t\\ \\\left[\begin{array}{cc}2&x^2\\2x-1&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2&2x-1\\x^2&0\end{array}\right]$

Perceba que:

$a_{11}=a^t_{11}\\\\a_{12}=a^t_{21}\\\\a_{21}=a^t_{12}\\\\a_{22}=a^t_{22}$

Sabendo disso, obtemos uma equação:

$\boxed{x^2=2x-1}\\\\x^2-2x+1=0\\\\\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot1\\\Delta=4-4\\\Delta=0\\\\\\\\\ x=\dfrac{-b+\sqrt{0}}{2\cdot a}\\\\\\x=\dfrac{-(-2)+0}{2\cdot 1}=\dfrac{2}{2}=\boxed{1}$

Portanto, nessa matriz simétrica x = 1.

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https://brainly.com.br/tarefa/47127742

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Answer 2

´Para a matriz A ser simétrica, o valor de x é 1

Precisamos saber que:

→ Transposta de uma matriz A é outra matriz que possui os mesmos elementos de A, porém na outra ordem, ou seja, a linha da matriz A vira coluna na transposta e a coluna vira linha.

Por exemplo, em uma Matriz 3x2, sua transposta terá a ordem 2x3.

→ Quando a transposta é igual a Matriz que a originou, dizemos que essa matriz é simétrica.

Lembrando que:

→ Matrizes iguais são aquelas que possuem a mesma ordem e os elementos correspondentes devem ser iguais, ou seja, os valores da mesma posição devem ser os mesmos.

Vamos à questão.

Achando a tal transposta, copiando a linha na coluna e coluna na linha

$\large A = \left[\begin{array}{ccc}2&x^2\\2x-1&0\end{array}\right] \implies T = \left[\begin{array}{ccc}2&2x-1\\x^2&0\end{array}\right]$

Como A é simétrica, elas são iguais.

Vamos igualar:

$\large \left[\begin{array}{ccc}2&x^2\\2x-1&0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2&2x-1\\x^2&0\end{array}\right]$

Daí, pela igualdade, temos:

$\large a_{1,1} \Rightarrow 2 = 2$

$\large a_{1,2} \Rightarrow x^2 = 2x - 1$

$\large a_{2,1} \Rightarrow 2x-1 = x^2$

$\large a_{2,2} \Rightarrow 0 = 0$

Agora é só calcular uma das equações algébricas, pois são iguais

$\large x^2 = 2x - 1$

$\large x^2 - 2x + 1 = 0 ~~~~\implies a=1, ~~~b=-2, ~~~c = 1$          

$\large \Delta = b^2 - 4.a.c$

$\large \Delta = (-2)^2 - 4.1.1$

$\large \Delta = 4 - 4$

$\large \Delta = 0$  

Que bom! a gente só vai ter uma raiz (um valor pra x)

$\large \text { x= \dfrac{-b \pm \sqrt {\Delta} }{2.a} \Rightarrow x= \dfrac{-(-2) \pm \sqrt {0} }{2.1} \Rightarrow x= \dfrac{2 }{2} \Rightarrow \boxed{ x=1} }$

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