Question

Calcule o limite abaixo:

Answer 1

De acordo com os cálculos abaixo, o valor do limite dado é ¹/₂ .

Vamos entender o porquê?

De uma forma geral, existem dois caminhos para a resolução de um limite:

• Por substituição direta, caso o limite não origine indeterminações

• Por substituição após transformação, caso o limite origine indeterminações

Quando falamos em indeterminações, referimo-nos a expressões sem um valor definido matematicamente, como:

$\bullet\;\;\dfrac{0}{0}\vspace{10}\\\bullet\,\dfrac{\infty}{\infty}\vspace{10}\\\bullet\;\;0\times\infty\vspace{10}\\\bullet\;\;\infty-\infty\vspace{10}\\\bullet\;\;0^0\vspace{10}\\\bullet\;\;\infty^0\vspace{10}\\\bullet\;\;1^\infty$

Caso um limite origine uma indeterminação, podemos seguir dois rumos:

• Fazer substituições de forma a transformar a expressão num limite notável, como os que deixo em anexo

• Fazer operações matemáticas que não alterem o valor da expressão

Passemos, agora, ao exercício.

Neste caso, o limite origina uma indeterminação do tipo  $\frac{0}{0}$ , como indicado na resolução. Por isto, vamos ter de transformar a expressão, neste caso, multiplicando e dividindo pelo conjugado do numerador:

   $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x+x^2}-1}{x}\;\;^{^{^{\left(\dfrac{0}{0}\right)}}}\!\!\!\!=$

$=\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{(\sqrt{1+x+x^2}-1)(\sqrt{1+x+x^2}+1)}{x(\sqrt{1+x+x^2}+1)}=$

$=\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{(\sqrt{1+x+x^2})^2-1^2}{x(\sqrt{1+x+x^2}+1)}=$

$=\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1+x+x^2-1}{x(\sqrt{1+x+x^2}+1)}=$

$=\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x+x^2}{x(\sqrt{1+x+x^2}+1)}=$

$=\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{/\!\!\!x(1+x)}{/\!\!\!x(\sqrt{1+x+x^2}+1)}=$

$=\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1+x}{\sqrt{1+x+x^2}+1}=$

$=\dfrac{1+0}{\sqrt{1+0+0}+1}=$

$=\dfrac{1}{\sqrt{1}+1}=$

$=\dfrac{1}{1+1}=$

$=\dfrac{1}{2}$

Podes ver mais exercícios sobre limites em:

• https://brainly.com.br/tarefa/36145159
• https://brainly.com.br/tarefa/27792127
• https://brainly.com.br/tarefa/27619449