Question

Qual é o menor valor da função f(x) = senx + cosx. Apresente os cálculos e raciocínios.

Answer 1

Menor valor da função :

$\sf f(x) =sen(x)+cos(x)$

usando a desigualdade de cauchy schwarz, sabemos que :

$\sf (a\cdot x+b\cdot y )^2 \leq (a^2+b^2)\cdot (x^2+y^2) \\\\ \text{Da{\'i} fa{\c c}amos} : \\\\ \left[1\cdot sen(x) +1\cdot cos(x)\right]^2\leq (1^2+1^2)\cdot [sen^2(x)+cos^2(x)] \\\\\\ \left[sen(x)+cos(x)]\right]^2 \leq 2\cdot 1 \\\\\\ -\sqrt{2 }\leq sen(x)+cos(x) \leq \sqrt{2} \\\\\ sen(x) +cos(x) \geq -\sqrt{2} \\\\\ f(x)_{m{\'i}n}} =-\sqrt{2} \\\\ Portanto : \\\\ \huge\boxed{\sf \ \text{o menor valor da f(x) {\'e}} -\sqrt{2} \ }\checkmark$