Question

$Determine \ o \ valor \ de \ E, \ sendo \ E=\dfrac{5}{36} +\dfrac{7}{144} +\dfrac{9}{400} +\dfrac{11}{900} +\dfrac{13}{1764} +\dfrac{15}{3136}$

Answer 1

Resposta: E = 15/64.

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Explicação passo a passo:

Deseja-se determinar o valor da soma:

$E=\dfrac{5}{36}+\dfrac{7}{144}+\dfrac{9}{400}+\dfrac{11}{900}+\dfrac{13}{1764}+\dfrac{15}{3136}$

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Podemos perceber que há alguns padrões em seus termos.

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1º - Denominadores

Observe que estes números são quadrados perfeitos:

$E=\dfrac{5}{6^2}+\dfrac{7}{12^2}+\dfrac{9}{20^2}+\dfrac{11}{30^2}+\dfrac{13}{42^2}+\dfrac{15}{56^2}$

Com isso, podemos reescrever as bases de forma que podemos perceber outro padrão:

$\begin{array}{l}E=\dfrac{5}{(2\cdot3)^2}+\dfrac{7}{(3\cdot4)^2}+\dfrac{9}{(4\cdot5)^2}+\dfrac{11}{(5\cdot6)^2}+\dfrac{13}{(6\cdot7)^2}+\dfrac{15}{(7\cdot8)^2}\\\\E=\dfrac{5}{2^2\cdot 3^2}+\dfrac{7}{3^2\cdot 4^2}+\dfrac{9}{4^2\cdot 5^2}+\dfrac{11}{5^2\cdot 6^2}+\dfrac{13}{6^2\cdot 7^2}+\dfrac{15}{7^2\cdot 8^2}\end{array}$

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2º - Numeradores

A fim de trazer algo em comum aos denominadores, podemos reescrever os numeradores como a diferença entre dois quadrados, encontrando mais um padrão:

$E=\dfrac{3^2-2^2}{2^2\cdot 3^2}+\dfrac{4^2-3^2}{3^2\cdot 4^2}+\dfrac{5^2-4^2}{4^2\cdot 5^2}+\dfrac{6^2-5^2}{5^2\cdot 6^2}+\dfrac{7^2-6^2}{6^2\cdot 7^2}+\dfrac{8^2-7^2}{7^2\cdot 8^2}$

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Agora vamos reescrever $E$ como a soma entre a diferença de frações. Para tal, pegarei o primeiro termo como exemplo. Decompondo-o em frações parciais:

$\dfrac{3^2-2^2}{2^2\cdot 3^2}=\dfrac{A}{2^2}-\dfrac{B}{3^2}$

De modo a calcular isso, o denominador final será o produto entre os denominadores e o numerador final será a diferença entre os numeradores multiplicados pelo denominador da outra fração. Isto é:

$\dfrac{A}{2^2}-\dfrac{B}{3^2}=\dfrac{A\cdot 3^2-B\cdot 2^2}{2^2\cdot3^2}$

Como $\frac{3^2-2^2}{2^2\cdot 3^2}=\frac{A\cdot 3^2-B\cdot2^2}{2^2\cdot 3^2}$, por comparação:

$3^2-2^2=A\cdot 3^2-B\cdot 2^2$

$1\cdot 3^2-1\cdot2^2=A\cdot 3^2-B\cdot 2^2$

Logo, $A=B=1$. Então pode-se concluir que:

$\dfrac{3^2-2^2}{2^2\cdot 3^2}=\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}$

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Essa é a ideia que segue para todos os outros termos. Assim:

$E=\bigg(\dfrac{3^2-2^2}{2^2\cdot 3^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{4^2-3^2}{3^2\cdot 4^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{5^2-4^2}{4^2\cdot 5^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{6^2-5^2}{5^2\cdot 6^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{7^2-6^2}{6^2\cdot 7^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{8^2-7^2}{7^2\cdot 8^2}\bigg)$

$E=\bigg(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{1}{3^2}-\dfrac{1}{4^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{1}{4^2}-\dfrac{1}{5^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{1}{5^2}-\dfrac{1}{6^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{1}{6^2}-\dfrac{1}{7^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{1}{7^2}-\dfrac{1}{8^2}\bigg)$

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Observe que há termos opostos de uma parcela para a outra, sendo então uma soma telescópica. Logo, podemos executar o cancelamento e calcular a diferença restante:

$E=\bigg(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{\diagdown\!\!\!\!1}{\diagdown\!\!\!\!3^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{\diagdown\!\!\!\!1}{\diagdown\!\!\!\!3^2}-\dfrac{\diagdown\!\!\!\!1}{\diagdown\!\!\!\!4^2}\bigg)+\diagdown\!\!\!\!...+\bigg(\dfrac{\diagdown\!\!\!\!1}{\diagdown\!\!\!\!6^2}-\dfrac{\diagdown\!\!\!\!1}{\diagdown\!\!\!\!7^2}\bigg)+\bigg(\dfrac{\diagdown\!\!\!\!1}{\diagdown\!\!\!\!7^2}-\dfrac{1}{8^2}\bigg)$

$\begin{array}{l}E=\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{8^2}\\\\ E=\dfrac{1\cdot 8^2-1\cdot 2^2}{2^2\cdot 8^2}\\\\ E=\dfrac{2^2\cdot(4^2-1)}{2^2\cdot 8^2}\\\\ E=\dfrac{4^2-1}{8^2}\\\\ E=\dfrac{16-1}{64}\\\\\boldsymbol{\blue{E=\dfrac{15}{64}}}\end{array}$

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Então o valor de $E$ é igual a 15/64.