Question

Calcule dy/dx
da função x². (1+y) = y² (x - 1), por derivação implícita.

Answer 1

Resposta: Letra A) y' = (y² - 2x - 2xy)/(x² - 2xy + 2y)

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Explicação passo a passo:

Derivar implicitamente:

$x^2(1+y)=y^2(x-1)$

A derivada implícita consiste em derivar a equação primeiro ao invés de antes isolar a função que se busca derivar. Então, comece derivando ambos os membros que assim a mágica acontece:

$\big[x^2(1+y)\big]'=\big[y^2(x-1)\big]'$

Aplique a regra do produto, na qual $(f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f$:

$(x^2)'(1+y)+(1+y)'x^2=(y^2)'(x-1)+(x-1)'y^2$

$2x(1+y)+[(1)'+(y)']x^2=2yy'(x-1)+[(x)'-(1)']y^2$

$2x+2xy+[0+y']x^2=2xyy'-2yy'+[1-0]y^2$

$2x+2xy+x^2y'=2xyy'-2yy'+y^2$

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Agora sim, basta isolar $y'$:

$2x+2xy+x^2y'=2xyy'-2yy'+y^2$

$x^2y'-2xyy'+2yy'=y^2-2x-2xy$

$y'(x^2-2xy+2y)=y^2-2x-2xy$

$\red{\boldsymbol{y'=\dfrac{y^2-2x-2xy}{x^2-2xy+2y}}}$

Letra A