Question

MATEMÁTICA :(

4 ) Determine K , a fim de que , uma das raízes da equação x² - 5x + ( K + 3 ) = 0 , de incógnita x , seja igual ao quádruplo da outra .

a) K = 1
b) K = 2
c) K = 3
d) K = 4

✨ By : Mary ✨

Answer 1

k=1

Explicação passo-a-passo:

x'+x"=-b/a

x'+x"=-(-5)/1

x'+x"= 5

_____________________

x"=4x'

_____________________

x'+4x'=5

5x'=5

x'=5/5

x'= 1 ( primeira raiz )

_____________________

x"=4x'

x"=4.(1)

x"= 4 ( segunda raiz )

_____________________

Substituindo umas das raízes :

x² - 5x + ( K + 3 ) = 0

(1)²-5.(1)+(k+3)=0

1-5= -k -3

-4=-k-3

k= -3+4

k= 1

Answer 2

a) k = 1 ✓

________________________________

• RESOLUÇÃO

x² - 5x + ( K + 3 ) = 0

a = 1

b = -5

c = k + 3

Vamos adotar as seguintes incógnitas no lugar das raízes:

$\begin{cases}\sf~x_1 = y\\\\\sf~x_2=z\end{cases}$

$\sf~y+z=\frac{-b}{a}\\\\\sf~y+z=\frac{-(-5)}{1}\\\\\sf~y+z=5~\checkmark\textsf{ \underline{Equac_{\!\!,}\tilde{a}o~1} }$

$\sf~y\cdot\,\!z=\frac{c}{a}\\\\\sf~y\cdot\,\!z=\frac{k+3}{1}\\\\\sf~y\cdot\,\!z=k+3~\checkmark\textsf{ \underline{Equac_{\!\!,}\tilde{a}o~2} }$

Como anunciado afirma que uma das raízes é o quádruplo da outra, temos que:

$\sf~z=4\cdot\,\!y~\checkmark\textsf{ \underline{Equac_{\!\!,}\tilde{a}o~3} }$

Agora, vamos substituir a equação 3 na equação 1

$\sf~z+y=5\\\\\sf4y+y=5\\\\\sf5y=5\\\\\sf~y=\frac{5}{5}\\\\\sf~y=1~\checkmark$

Agora, substituiremos o valor de y na equação 2:

$\sf~y\cdot\,\!z=k+3\\\\\sf~y\cdot4y=k+3\\\\\sf4y^2=k+3\\\\\sf4\cdot1^2=k+3\\\\\sf4\cdot1=k+3\\\\\sf4=k+3\\\\\sf~k+3=4\\\\\sf~k=4-3\\\\\boxed{\sf~k=1}~\checkmark$

✨ $\Large\mathscr{\blue{Per:~Dan}}$ ✨