Matéria: Matemática
Autor: Anônimo
Perguntado 3 anos atrás

Seja n um número natural de dois algarismos. O quadrado da soma dos algarismos de n é igual a soma dos algarismos de n². Determine a quantidade de números de dois de algarismos que satisfazem essa condição.

Respostas

respondido por: Lukyo

Resposta: 9 (nove) números de dois algarismos satisfazem a condição dada, a saber:

$\{10,\,11,\,12,\,13,\,20,\,21,\,22,\,30,\,31\}.$

Explicação passo a passo:

Seja $n=10a+b$ um número natural de dois algarismos, com $a,\,b\in\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9,\,0\}$ e $a\ne 0.$

Logo, devemos ter

$10\le n\le 99\\\\ \Longrightarrow\quad 10^2\le n^2\le 99^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad 100\le n^2\le 9801$

Portanto, $n^2$ é um número de no mínimo 3 algarismos e no máximo 4 algarismos.

Definindo $S:~\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ a função cuja lei é dada por

$S(m)=\mathrm{soma~dos~algarismos~de~}m$

para $10\le n\le 99,$ temos

$S(10)\le S(n)\le S(99)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1+0\le S(n)\le 9+9\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1\le S(n)\le 18\qquad\mathrm{(i)}$

Por outro lado, devemos ter

$S(100)\le S(n^2)<S(9999)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1+0+0\le S(n^2)< 9+9+9+9\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1\le S(n^2)< 36\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1^2\le S(n^2)<6^2\qquad\mathrm{(ii)}$

Queremos encontrar os naturais n tais que

$(S(n))^2=S(n^2)\qquad\mathrm{(iii)}$

Por (i), (ii) e (iii), concluímos que é necessário (mas não suficiente) que

$\Longrightarrow\quad 1^2\le (S(n))^2<6^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1\le S(n)<6\qquad\mathrm{(iv)}$

Com isso, restringimos as possibilidades para os valores de n:

A soma dos algarismos de n deve ser no mínimo 1, e não pode ser maior que 5.

Logo,

$\Longrightarrow\quad n\in\{10,\,11,\,12,\,13,\,14,\,20,\,21,\,22,\,23,\,30,\,31,\,32,\,40,\,41,\,50\}\qquad\mathrm{(v)}$

Dentre esses valores, vamos tabelar quais satisfazem a condição imposta pela igualdade (iii):

n S(n) (S(n))² n² S(n²) (S(n))²=S(n²)

10 1 1 100 1 Verdadeiro

11 2 4 121 4 Verdadeiro

12 3 9 144 9 Verdadeiro

13 4 16 169 16 Verdadeiro

14 5 25 196 16 Falso

20 2 4 400 4 Verdadeiro

21 3 9 441 9 Verdadeiro

22 4 16 484 16 Verdadeiro

23 5 25 529 16 Falso

30 3 9 900 9 Verdadeiro

31 4 16 961 16 Verdadeiro

32 5 25 1024 7 Falso

40 4 16 1600 7 Falso

41 5 25 1681 16 Falso

50 5 25 2500 7 Falso

Logo, os possíveis valores de n que satisfazem a condição dada são:

$\Longrightarrow\quad n\in\{10,\,11,\,12,\,13,\,20,\,21,\,22,\,30,\,31\}$

totalizando 9 (nove) elementos.

Bons estudos! :-)

respondido por: jurandir129

Tendo em vista as operações o número natural n e as condições impostas, temos um total de 9 números que correspondem a essa igualdade.

n e os algarismos a e b

Podemos entender n um número entre 10 e 99 formado por a e b.
Se for o número 10 por exemplo a = 1 e b = 0.
Sabemos que a ≠ 0.
O quadrado da soma de a e b é: (a + b)² = a² + 2ab + b²
n² será:

a b

x a b

ab b²

+ a² ab

a² 2ab b²

A soma dos algarismos de n² será a² + 2ab + b². Contudo essa igualdade só será verdadeira de a², 2ab, b² forem menores que 10.

Isso porque se esses números forem maiores que 10 não serão representados como algarismos de 0 a 9 e sim pelo primeiro algarismo na casa das unidades e o outro algarismo com valor de dezena que somará na próxima casa.

Ex:

a) 1 0

x 1 0

0 0

+ 1 0

1 0 0

(1 + 0)² = 1 + 0 + 0

1 = 1

b) ¹2 4

x 2 4

9 6

+ ¹4 8

5 7 6

(2 + 4)² ≠ 5 + 7 + 6

36 ≠ 18

Sendo assim temos que:

a² < 10 ; o 3 é o menor número natural cujo quadrado é menor que 10, então a < 3
b² < 10; o 3 é o menor número natural cujo quadrado é menor que 10, então b < 3
2ab < 10 então, ab < 5