Question

O resto na divisão do número (3733)²⁰¹⁹+(2019)³⁷³³ por 6 é:

(coloque o resultado e a justificativa, por favor)​

Answer 1

Resposta:  O resto da divisão de (3733)²⁰¹⁹ + (2019)³⁷³³ por 6 é 4.

Explicação passo a passo:

Vamos analisar cada parcela da soma separadamente.

Efetuando a divisão euclidiana de 3733 por 6, temos

     $\begin{array}{l} 3733=622\cdot 6+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3733\equiv 1\quad(\mathrm{mod~}6)\end{array}$

Obs.: A notação $a\equiv b\quad(\mathrm{mod~}m)$ pode ser interpretada como "$a$ deixa o mesmo resto que $b$ na divisão por $m$".

Elevando os dois lados da congruência a 2019, temos

     $\begin{array}{l}\Longrightarrow\quad (3733)^{2019}\equiv 1^{2019}\quad(\mathrm{mod~}6)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (3733)^{2019}\equiv 1\quad(\mathrm{mod~}6)\qquad\mathrm{(i)}\end{array}$

Logo, (3733)²⁰¹⁹ deixa resto 1 na divisão por 6.

Efetuando a divisão euclidiana de 2019 por 6, temos

     $\begin{array}{l}2019=336\cdot 6+3\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2019\equiv 3\quad(\mathrm{mod~}6)\end{array}$

Elevando os dois lados da congruência a 3733, temos

     $\Longrightarrow\quad (2019)^{3733}\equiv 3^{3733}\quad(\mathrm{mod~}6)$

Toda potência natural de 3 deixa resto 3 na divisão por 6. Logo, em particular, temos

$\Longleftrightarrow\quad (2019)^{3733}\equiv 3\quad(\mathrm{mod~}6)\qquad\mathrm{(ii)}$

Logo, (2019)³⁷³³ deixa resto 3 na divisão por 6.

Somando as congruências (i) e (ii), segue que

     $\begin{array}{l} \Longrightarrow\quad (3733)^{2019}+(2019)^{3733}\equiv 1+3\quad(\mathrm{mod~}6)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (3733)^{2019}+(2019)^{3733}\equiv 4\quad(\mathrm{mod~}6)\end{array}$

Resposta: O resto é 4.

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