Question

Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = cos(y) + sen(y), sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-Kutta:


2,309


2,709


2,409


2,609


2,509

Answer 1

Resposta: O valor de $y(3)$ é aproximadamente igual a $2.309$ (letra A).

$~$

Explicação passo a passo:

O método de Runge-Kutta consiste em calcular — a partir de uma solução particular —, de forma iterativa, o valor aproximado de soluções numéricas em EDO's.

Para melhor aproximação do resultado, usaremos a fórmula do RK de 4ª ordem, na qual determina a aproximação do valor de $y^{(n+1)}$com base em seu antecessor $y^{(n)}$ ($n$ é número de iterações):

$y^{(n+1)}=y^{(n)}+\dfrac{1}{6}(k_1^{(n)}+2k_2^{(n)}+2k_3^{(n)}+k_4^{(n)})$

, e com base em $k$ inclinações, cujas possuem fórmulas próprias:

$k_1^{(n)}=h\,y(x^{(n)},y^{(n)})$

$k_2^{(n)}=h\,y(x^{(n)}+\frac{h}{2},y^{(n)}+\frac{k_1^{(n)}}{2})$

$k_3^{(n)}=h\,y(x^{(n)}+\frac{h}{2},y^{(n)}+\frac{k_2^{(n)}}{2})$

$k_4^{(n)}=h\,y(x^{(n)}+h,y^{(n)}+k_3^{(n)})$

E $h$ é o passo, que é a distância de um ponto ao outro, no qual:

$x^{(n+1)}=x^{(n)}+h$

Solução

Observe a PVI dada pela questão:

$\begin{cases}~y'=\mathrm{cos}(y)+\mathrm{sen}(y)\\~y(0)=0.3\end{cases}$

Podemos afirmar que:

$y(0)=0.3\implies x^{(0)}=0,~y(x^{(0)})=y^{(0)}=0.3$

Sendo $x^{(0)}$ e $y^{(0)}$ os nossos valores iniciais.

$~$$~$

Nós devemos parar o cálculo e denotar por última iteração quando o $k_4$ admitir $x^{(n)}+h=3$, já que $y(3)$ é o valor buscado.

$~$

OBS.: Será usado uma calculadora científica para melhor resultados.

$~$

1ª iteração. $n=0,~x^{(0)}=0,~y^{(0)}=0.3$ :

$\\k_1^{(0)}=0.3y(0,0.3)=0.3[\mathrm{cos}(0.3)+\mathrm{sen}(0.3)]=0.3753$

$k_2^{(0)}=0.3\,y(0+\frac{0.3}{2},0.3+\frac{0.3753}{2})=$

   $=0.3\,y(0.15,0.48765)=0.3[\mathrm{cos}(0.48765)+\mathrm{sen}(0.48765)]=0.4056$

$k_3^{(0)}=0.3\,y(0+\frac{0.3}{2},0.3+\frac{0.4056}{2})=$

   $=0.3\,y(0.15,0.5028)=0.3[\mathrm{cos}(0.5028)+\mathrm{sen}(0.5028)]=0.4074$

$k_4^{(0)}=0.3\,y(0+0.3,0.3+0.4074)=$

   $=0.3\,y(0.3,0.7074)=0.3[\mathrm{cos}(0.7074)+\mathrm{sen}(0.7074)]=0.423$

Logo:

$\\y^{(0+1)}=y^{(0)}+\dfrac{1}{6}(0.3753+2(0.4056)+2(0.4074)+0.423)$

$y^{(1)}=0.3+\dfrac{1}{6}(0.3753+2(0.4056)+2(0.4074)+0.423)$

$\green{\boldsymbol{y^{(1)}=0.704}}$

2ª iteração. $n=1,~x^{(1)}=0.3,~y^{(1)}=0.704$ :

$\\k_1^{(1)}=0.3y(0.3,0.704)=0.3[\mathrm{cos}(0.704)+\mathrm{sen}(0.704)]=0.4229$

$k_2^{(1)}=0.3\,y(0.3+\frac{0.3}{2},0.704+\frac{0.4229}{2})=$

      $=0.3\,y(0.45,0.81145)=0.3[\mathrm{cos}(0.91545)+\mathrm{sen}(0.91545)]=0.4207$

$k_3^{(1)}=0.3\,y(0.3+\frac{0.3}{2},0.704+\frac{0.4207}{2})=$

      $=0.3\,y(0.45,0.91435)=0.3[\mathrm{cos}(0.91435)+\mathrm{sen}(0.91435)]=0.4207$

$k_4^{(1)}=0.3\,y(0.3+0.3,0.704+0.4207)=$

      $=0.3\,y(0.6,1.1247)=0.3[\mathrm{cos}(1.1247)+\mathrm{sen}(1.1247)]=0.4001$

Logo:

$\\y^{(1+1)}=y^{(1)}+\dfrac{1}{6}(0.4229+2(0.4207)+2(0.4207)+0.4001)$

$y^{(2)}=0.704+\dfrac{1}{6}(0.4229+2(0.4207)+2(0.4207)+0.4001)$

$\green{\boldsymbol{y^{(2)}=1.1217}}$

.

.

.

Não vou colocar as contas de todas as iterações aqui porque, infelizmente, o campo de respostas tem um limite de 5000 caracteres. Mas o procedimento numérico é esse, basta continuar jogando os valores das iterações passadas para encontrar o valor de $y$ da próxima iteração.

Para fazer sentido à resposta final, vou colocar só a última iteração:

$~$

10ª iteração. $n=9,~x^{(9)}=2.7,~y^{(9)}=2.2833$ :

$\\k_1^{(9)}=0.3y(2.7,2.2833)=0.3[\mathrm{cos}(2.2833)+\mathrm{sen}(2.2833)]=0.0309$

$k_2^{(9)}=0.3\,y(2.7+\frac{0.3}{2},2.2833+\frac{0.0309}{2})=$

      $=0.3\,y(2.85,2.29875)=0.3[\mathrm{cos}(2.29875)+\mathrm{sen}(2.29875)]=0.0244$

$k_3^{(9)}=0.3\,y(2.7+\frac{0.3}{2},2.2833+\frac{0.0244}{2})=$

      $=0.3\,y(2.85,2.2955)=0.3[\mathrm{cos}(2.2955)+\mathrm{sen}(2.2955)]=0.0257$

$k_4^{(9)}=0.3\,y(2.7+0.3,2.283+0.0257)=$

      $=0.3\,y(3,2.3087)=0.3[\mathrm{cos}(2.3087)+\mathrm{sen}(2.3087)]=0.02$

Observe que $2.7+0.3=3$, então paramos por aqui. Logo:

$\\y^{(9+1)}=y^{(9)}+\dfrac{1}{6}(0.0309+2(0.0244)+2(0.0257)+0.02)$

$y^{(10)}=2.2833+\dfrac{1}{6}(0.0309+2(0.0244)+2(0.0257)+0.02)$

$\green{\boldsymbol{y^{(10)}=2.309}}$

$\boldsymbol{\therefore~\boxed{y(x^{(10)})=y(3)\cong y^{(10)}=2.309}\to A)~2.309}$