Question

Calcule a integral:

7) $\int\limits^\frac{3\pi}{4} _\frac{\pi}{4} {cosec~\theta~ cotg~ \theta} \, d\theta$

Answer 1

✅ A solução da integral trigonométrica, por meio de expansões, é $\rm I = 0\,u.a.$

 

☁️ Teorema Fundamental do Cálculo: Seja $\rm f(x)$ uma função bem comportada, com ou sem finitas descontinuidades e seja $\rm x_0 \,\land\, x_1 \in \mathbb{R}$, limites de integração. Então, a integral definida da função $\rm f$ é a diferença entre a função $\rm F(x)$, primitiva, aplicada no extremo superior pela aplicação desta no extremo inferior.

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm\qquad \int\limits_{x\,=\,x_0}^{x\,=\,x_1} f(x)\,dx = F(x)\Bigg|_{x\,=\,x_0}^{x\,=\,x_1} = F(x_1) - F(x_0)\qquad}}}$

 

✍️ Solução: Vamos expandir as funções trigonométricas por meio de suas definições. Por fim, utilizar de uma substituição simples e rearranjar.

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned} \displaystyle \rm \int\limits_{^{\pi}\!/\!_4}^{^{3\pi}\!\!/\!_4} \csc(\phi)\cot(\phi) \,d\phi &=\displaystyle \rm \int\limits_{^{\pi}\!/\!_4}^{^{3\pi}\!\!/\!_4} \dfrac{1}{\sin(\phi)}\cdot\dfrac{\cos(\phi)}{\sin(\phi)} \,d\phi \\\\&=\displaystyle \rm \int\limits_{^{\pi}\!/\!_4}^{^{3\pi}\!\!/\!_4} \dfrac{\cos(\phi)}{\sin^2(\phi)} \,d\phi \end{aligned}\end{array}$

 

❏ Fazendo:

$\large\begin{array}{lr}\rm n = \sin(\phi) \Rightarrow dn = \cos(\phi)\,d\phi \\\rm \therefore \begin{cases} \rm n_0 = \sin(^{\pi}\!/\!_4) = \tfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \rm n_1 = \sin(^{3\pi}\!\!/\!_4) = \tfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \end{array}$

 

❏ Retomando à integral:

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned} \displaystyle \rm \int\limits_{^{\pi}\!/\!_4}^{^{3\pi}\!\!/\!_4} \csc(\phi)\cot(\phi) \,d\phi &=\displaystyle \rm \int\limits_{^{\pi}\!/\!_4}^{^{3\pi}\!\!/\!_4} \dfrac{\cos(\phi)}{\sin^2(\phi)} \,d\phi \\\\&=\displaystyle \rm \int\limits_{n_0}^{n_1} \dfrac{\cos(\phi)}{n^2\cos(\phi)} \,dn \\\\&=\displaystyle \rm \int\limits_{n_0}^{n_1} \dfrac{1}{n^2} \,dn \\\\&=\displaystyle \rm \left.-\dfrac{1}{n} \right|_{n_0}^{n_1} \\\\&=\displaystyle \rm \left[-\dfrac{1}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}} \right] - \left[ -\dfrac{1}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}} \right] \end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\therefore\:\displaystyle \rm \int_{^{\pi}\!/\!_4}^{^{3\pi}\!\!/\!_4} \csc(\phi)\cot(\phi) \,d\phi = 0\,u.a.}}}} \\\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\end{array}$

 

✔️ Essa é a área entre a curva e o eixo x representada pelo produto das funções trigonométricas dadas.

 

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre integral definida, integral trigonométrica:

• brainly.com.br/tarefa/48862081

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$