Question

Uma mãe deseja que seus filhos tenham uma alimentação equilibrada e, por isso, consultou uma nutricionista, que lhe recomendou que eles consumam por dia, no mínimo, 10 mg de vitamina A, 70 mg de vitamina C e 250 de vitamina D. Mas essa mãe também está preocupada com os custos. Ela deseja oferecer aos filhos a dieta equilibrada, porém ao menor custo possível. Para ajudar nos cálculos, ela fez uma pesquisa sobre informações nutricionais para diferentes tipos de alimento, conforme apresentado a seguir. Tabela de informações nutricionais em mg Vitamina Leite (L) Carne (kg) Peixe (kg) Salada (100 g) A 2 2 10 20 C 50 20 10 30 D 80 70 10 80 A mãe também foi ao supermercado e verificou que um litro de leite custa $ 2,00, um quilo de carne custa $ 20,00, um quilo de peixe custa $ 25,00, e que para preparar 100 g de salada ela gastaria $ 3,00. O modelo matemático para o planejamento da alimentação das crianças, buscando minimizar o custo, é dado por: Min Z = 2x1 + 20x2 + 25x3 + 3x4 s. a.: 2x1 + 2x2 + 10x3 + 20x4 ≥ 10 50x1 + 20x2 + 10x3 + 30x4 ≥ 70 80x1 + 70x2 + 10x3 + 80x4 ≥ 250 x1, x2, x3, x4 ≥ 0 Sendo: x1 = litros de leite a serem consumidos por dia pelas crianças x2 = quilos de carne a serem consumidos por dia pelas crianças x3 = quilos de peixe a serem consumidos por dia pelas crianças x4 = 100 g de salada a serem consumidos por dia pelas crianças O custo mínimo que a mãe vai ter é de $ 6,46. Caso recomendação de ingestão mínima de vitamina D passasse para 350 mg por dia, o custo mínimo:

Answer 1

Resposta:

SISTEMA LINEAR POR ESALONAMENTO

UM NUTRICIONISTA DESEJA PREPARAR UMA REFEIÇAO DIARIA EQUILIBRADA EM VITAMINAS A,B,C. PARA ISSO ELE DISPOE  DE 3 TIPOS DE ALIMENTOS X,Y,Z. O ALIMENTO X POSSUI UMA UNIDADE DE VITAMINA A, 10 UNIDADES DE VITAMINA A, 1 UNIDADE DE VITAMINA C.

Explicação passo a passo:

Answer 2

O custo mínimo para uma dieta em que são necessários no mínimo 10 mg de vitamina A, 70 mg de vitamina C e 350 de vitamina D é de aproximadamente $6,97.

O que é um sistema linear?

Um sistema linear é um conjunto de equações associadas entre si que possuem uma ou mais variáveis. Para resolver o sistema do problema, vamos usar o método da eliminação de Gauss (ou escalonamento).

Método da eliminação de Gauss (escalonamento)

Esse método é empregado, principalmente, para sistemas lineares com mais de 2 equações. Nesse método, tentamos eliminar a primeira incógnita de todas as equações, até encontrarmos uma solução. Vamos entender como fazer isso resolvendo o problema.

Vamos montar o sistema de equações:

$\left\{\begin{array}{lll}2x_1 + 2x_2 + 10x_3 + 20x_4 \geq 10\\50x_1 + 20x_2 + 10x_3 + 30x_4\geq 70\\80x_1 + 70x_2 + 10x_3 + 80x_4\geq 250\end{array}\right$

Esse sistema de equações é para a ingestão mínima de vitamina D de 250mg. Por isso, como passamos para uma recomendação de ingestão mínima de vitamina D de 350mg por dia, nosso sistema vai ser:

$\left\{\begin{array}{lll}2x_1 + 2x_2 + 10x_3 + 20x_4 \geq 10\\50x_1 + 20x_2 + 10x_3 + 30x_4\geq 70\\80x_1 + 70x_2 + 10x_3 + 80x_4\geq 350\end{array}\right$

Vamos montar a matriz desse sistema:

$\left[\begin{array}{cccc|c}2&2&10&20&10\\50&20&10&30&70\\80&70&10&80&350\end{array}\right]$

Vamos tentar chegar a uma matriz da forma:

$\left[\begin{array}{cccc|c}a_1&b_1&c_1&d_1&e_1\\0&0&c_2&d_2&e_2\\0&0&0&d_3&e_3\end{array}\right]$

Vamos chamar cada linha de L1, L2 e L3. Como temos muitos elementos, vamos tentar fazer de uma forma mais simples do que o exemplo dado:

$L1 = L1\\L2 = 25L1 - L2\\L3 = 40L1 - L3$

Então, nossa matriz fica:

$\left[\begin{array}{cccc|c}2&2&10&20&10\\0&5&240&470&180\\0&10&390&0&50\end{array}\right]$

Vamos zerar o segundo termo da terceira equação agora:

$L3 = 5L1 - L3$

$\left[\begin{array}{cccc|c}2&2&10&20&10\\0&5&240&470&180\\0&0&390&-340&50\end{array}\right]$

E, agora, vamos zerar o segundo termo da segunda equação:

$L2 = L2 - 2,5L1$

$\left[\begin{array}{cccc|c}2&2&10&20&10\\0&0&215&420&155\\0&0&390&-340&50\end{array}\right]$

E, por último, vamos zerar o terceiro termo da terceira linha:

$L3 = 39L1 - L3$

$\left[\begin{array}{cccc|c}2&2&10&20&10\\0&0&215&420&155\\0&0&0&1120&340\end{array}\right]$

Essa é nossa matriz, e nosso sistema será:

$\left\{\begin{array}{lll}2x_1 + 2x_2 + 10x_3 + 20x_4 \geq 10\\215x_3 + 420x_4\geq 155\\1120x_4\geq 340\end{array}\right$

Vamos encontrar $x_4$:

$1120x_4 \geq 340\\\\x_4\geq 0,30357$

Vamos substituir x4 na segunda equação para encontrar $x_3$:

$215x_3 +420(0,30357)\geq 155\\\\215x_3 \geq 155-127,5\\\\x_3 \geq 0,1279$

Agora, para encontrar $x_1$ e $x_2$, vamos usar primeiro uma das matrizes que surgiram durante o escalonamento.

$\left[\begin{array}{cccc|c}2&2&10&20&10\\0&5&240&470&180\\0&10&390&0&50\end{array}\right]$

Seu sistema é:

$\left\{\begin{array}{lll}2x_1 + 2x_2 + 10x_3 + 20x_4 \geq 10\\5x_2 + 240x_3 + 470x_4\geq 180\\10x_2 + 390x_3\geq 50\end{array}\right$

Vamos usar a terceira equação desse sistema e encontrar $x_2$:

$10x_2 + 390(0,1279) \geq 50\\\\10x_2 \geq 50-49,881\\\\x_2\geq 0,0119$

E, com isso, podemos substituir todas essas incógnitas na primeira equação para encontrar $x_1$:

$2x_1+ 2(0,0119) + 10(0,1279) + 20(0,30357) \geq10\\\\2x_1 \geq 10 - 7,3742\\\\x_1\geq 1,3129$

E, com isso, temos o valor de todas as incógnitas, no conjunto solução:

$S: (x_1, x_2, x_3, x_4) = (1,3129, 0,0119, 0,1279, 0,30357)$

Agora, vamos ver qual será o custo mínimo:

$Min Z = 2(1,3129) + 20(0,0119) + 25(0,1279) + 3(0,30357)\\\\MinZ = 2,6258 + 0,238 + 3,1975 + 0,91071\\\\MinZ = 6,97201$

Assim, concluímos que o custo mínimo para uma dieta em que são necessários no mínimo 10 mg de vitamina A, 70 mg de vitamina C e 350mg de vitamina D é de aproximadamente $6,97.

Entenda mais sobre sistemas lineares em: https://brainly.com.br/tarefa/44048547

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