Question

x^4 e^x y^4 + (3x^3+y^-3 x^3)y' = 0, y(2) = 4

a) Verificar se a equação diferencial é exata
b) Usando o fator integrante u(x,y)=1/x^3y^4, resolva a eq diferencia exata resutante

Answer 1

$xe^{x} - e^{x} -y^{-3} - \frac{y^{-6}}{6} = 0$$F(x,y) = xe^{x} - e^{x} - y^{-3} - \frac{y^{-6}}{6}$Resposta:

(a) Não é exata. A prova é explicada no passo a passo.

(b)

Explicação passo a passo:

Parte (a)

$x^{4}e^{x}y^{4} + (3x^{3} +y^{-3}x^{3})y' = 0$

Pode ser reescrita da seguinte maneira:

$x^{4}e^{x}y^{4} + (3x^{3} +y^{-3}x^{3})\frac{dy}{dx} = 0$     (Multiplico toda equação por dx)

$(x^{4}e^{x}y^{4} )dx + (3x^{3} +y^{-3}x^{3})dy = 0$

Para que essa Equação seja exata, é necessário que ela seja contínua por toda região de sua solução.

Para que isso ocorra, o diferencial parcial em relação a y de M têm que ser igual ao diferencial parcial em relação a x de N. Ou seja:

$\frac{d}{dy} (x^{4}e^{x}y^{4}) = \frac{d}{dx}(3x^{3} +y^{-3}x^{3})$

Para a primeira parte, temos:

$\frac{d}{dy} (x^{4}e^{x}y^{4}) = 4x^{4}e^{x}y^{3}$

Para a segunda parte, temos:

$\frac{d}{dx}(3x^{3} +y^{-3}x^{3}) = 9x^{2} + 3y^{-3}x^{2}$

O que prova que esta equação não é exata, já que as derivadas parciais das duas partes não são iguais.

Parte (b)

Multiplicando o fator integrante $\frac{1}{x^{3}y^{4}}$ por toda a equação, teremos:

$(x^{}e^{x} )dx + (3y^{-4} +y^{-7})dy = 0 (1)$

Para resolver essa equação exata, podemos afirmar que existe uma F(x,y), tal qual, seu diferencial total dF seja igual a equação (1).

Então,

$\frac{dF}{dx} = xe^{x}\\dF = xe^{x}dx\\\int\ {} \, dF = \int\ {xe^{x}} \ dx\\F(x,y) = xe^{x} - e^{x} + g(y)$

Derivando F(x,y) em relação a y, temos:

$F(x,y) = xe^{x} - e^{x} + g(y)\\\\dF(x,y) = g'(y)\\\\\\Entao,\\g'(y) = 3y^{-4} + y^{-7}\\g(y) = \int\ {3y^{-4} + y^{-7}} \, dy$

$g(y) = -y^{-3} - \frac{y^{-6}}{6} + C$

Logo,

$F(x,y) = xe^{x} - e^{x} -y^{-3} - \frac{y^{-6}}{6} + C$

Então,

$xe^{x} - e^{x} -y^{-3} - \frac{y^{-6}}{6} + C = 0$

Será a solução para a equação.

E para y(2) = 4, teremos:

$2e^{2} - e^{2} - 4^{-3} - \frac{4^{-6}}{6} + C = 0\\\\C = -7,3734$

A solução implicita será:

$xe^{x} - e^{x} -y^{-3} - \frac{y^{-6}}{6} -7,3734 = 0$