Question

Dada a função f(x) = x3 -9x2 – 48x + 52, podemos afirmar que:
Escolha uma:
a. f´´(8) = 30 > 0, assim f tem um ponto máximo em x=8.
b. 8 é um ponto crítico de f.
c. A derivada segunda da função é 6x2 -18.
d. f´´(-2) = -30 < 0, assim f tem um ponto de mínimo em x=-2.
e. 2 é um ponto crítico de f.

Answer 1

Oi 

$f(x)=x^3-9x^2-48x+52 \\ \\ f'(x)=3x^2-18x-48 \\ \\ f''(x)=6x-18$

Vamos encontrar os pontos críticos pela primeira derivada:

3x²-18x-28=0

Utilizando Bascara

x'= 8  e x''=-2


Se f'(c)=0 e f''(c)> 0 então tem um mínimo local em c

Se f'(c)=0 e f''(c)< 0 então tem um máximo local em c

Então:

A - Falso
B- Verdadeiro
C - Falso
D - Falso
E - Falso

Answer 2

Primeiro iremos derivar a função para assim podermos ter uma boa visualização do problema:
F(x)= x³-9x²-48x+52
F'(x)= 3x²-18x-48
F''(x)= 6x-18
F'''(x)= 6
F''''(x)= 0

Agora analisaremos cada alternativa:
a) "FALSA" Substituindo x=8 na segunda derivada, obteremos 30. Mas segundo os postulados de ponto máximo e mínimo só podemos aplicar em equações de segundo grau, como a segunda derivada é de primeiro, tem-se uma falsidade.
b) "VERDADEIRA" O ponto crítico de uma função é um ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada é nula, logo substituindo o valor de x=8, temos que sua solução será igual a zero.
c) "FALSA" Observando as derivadas da função acima, temos que a segunda é 6x-18 e não 6x.2-18 como proposto.
d) "FALSA" Substituindo x=-2 na segunda derivada, obteremos -30. Mas segundo os postulados de ponto máximo e mínimo só podemos aplicar em equações de segundo grau, como a segunda derivada é de primeiro, tem-se uma falsidade.
e) "FALSA" Para termos um ponto crítico, precisamos aplicar na primeira derivada F'(x), e não na função original.

Solução: "B"