Question

Considere a função f(x) = (k+1)x2 + 2x + 3. Para que essa função admita duas raízes reais distintas, devemos ter:

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Vinni, que é simples.
Pede-se o valor de "k" (acredito que seja isto que a questão esteja pedindo, pois não há nenhuma solicitação neste sentido) para que a função abaixo admita duas raízes reais e distintas:

f(x) = (k+1)x² + 2x + 3 .

Veja: para que uma equação do 2º grau tenha duas raízes reais e distintas, deveremos ter o seu Δ (delta = b² - 4ac))  MAIOR do que zero.
Note que o Δ da função acima é: 2²-4*(k+1)*3. Assim, deveremos impor que o Δ acima deverá ser MAIOR do que zero. Logo:

2² - 4*(k+1)*3 > 0 ---- ou, o que é a mesma coisa (a ordem dos fatores não altera o produto):
 
2² - 4*3*(k+1) > 0 ---- desenvolvendo, teremos:
4 - 12*(k+1) > 0 ---- efetuando o produto indicado, teremos:
4 - 12*k - 12*1 > 0
4 - 12k - 12 > 0 ------ vamos apenas ordenar o 1º membro, ficando:
4 - 12 - 12k > 0
- 8 - 12k > 0 ----- passando "-8" para o 2º membro, teremos:
- 12k > 8 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", ficaremos com:
12k < - 8
k < - 8/12 ---- dividindo numerador e denominador por "4", ficaremos com:
k < -2/3 ----- Esta é a resposta. Para que a função acima tenha duas raízes reais, então "k" deverá ser menor do que "-2/3".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.