Question

Mostre que a relação T = 2π (L/g)^1/2 (que mostra o período T de um pêndulo em

função de seu comprimento L e da aceleração da gravidade g) é dimensionalmente

correta.

Answer 1

✅ A expressão é dimensionalmente correta!

Answer 2

A partir dos devidos cálculos que realizaremos, é possível confirmar que a expressão está dimensionalmente correta. E para chegar a essa conclusão tivemos que lembrar de usar algumas propriedades da análise dimensional.

• Propriedade da adição, subtração, divisão e multiplicação:

Você só pode adicionar ou subtrair magnitudes do mesmo tipo, e o resultado dessa operação será igual à mesma magnitude e, por outro lado, as regras de multiplicação e divisão se cumpridas

• Propriedade dos números e funções trigonométricas:

Os números são adimensionais. De forma prática, a dimensão de um número é igual a 1. Incluímos nos números a: ângulos, funções trigonométricas, funções logarítmicas, constantes numéricas.

• Propriedade dos expoentes:

Os expoentes são sempre números, então a dimensão de um expoente é praticamente considerada igual a 1.

E por fim, vamos relembrar os tipos de magnitudes que usaremos neste problema.

Magnitudes fundamentais: São aquelas magnitudes escolhidas por convenção, que permitem expressar qualquer física em termos delas.

No sistema internacional, temos 7 magnitudes fundamentais, aqui virá o nome de algumas: tempo, comprimento, massa e temperatura.

Magnitudes derivadas: São aquelas magnitudes que são expressas em função das magnitudes fundamentais. Por exemplo: área, velocidade, força, trabalho.

Assim, levando tudo isso em consideração, podemos encontrar a solução para o nosso problema.

O problema diz para mostrar que a relação entre a fórmula:

$\sf T =2\pi\left( \dfrac{L}{g} \right)^{1/2}$

(que mostra o período T de um pêndulo em função de seu comprimento L e da aceleração da gravidade g) é dimensionalmente correta.

Antes de usar a análise dimensional com esta expressão vamos reescrever esta expressão aplicando a lei dos radicais da seguinte forma:

$\sf T =2\pi\left( \dfrac{L}{g} \right)^{1/2}\\\\\\\\ \Longrightarrow \boxed{\boxed{\sf T =2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}}}}$

Agora com esta fórmula será mais fácil aplicar a análise dimensional. Antes de aplicar a análise dimensional vamos analisar o tipo de magnitudes que existem.

A primeira magnitude é o período, este é classificado como uma magnitude natural, pois o período é o espaço de tempo em que uma ação é executada.

A segunda magnitude é o comprimento, o comprimento é uma magnitude natural e não há muito o que falar sobre isso.

E finalmente a aceleração da gravidade, esta é uma magnitude derivada da massa dividida pelo quadrado do tempo (mostrado pela mesma unidade).

Então, levando em conta a classificação de cada magnitude, agora se podemos aplicar a análise dimensional, a unidade dimensional para a magnitude do tempo é [T], para comprimento sua unidade dimensional é [L] e como a aceleração da gravidade é uma mistura entre comprimento e tempo ao quadrado, sua unidade dimensional é [L/T²] ou pelas leis dos expoentes é [LT‾²].

Então, levando em consideração as magnitudes na análise dimensional de cada variável, será possível demonstrar que a expressão está dimensionalmente correta.

Substituindo:

$\sf [T] =2\pi \sqrt{\dfrac{[L]}{[LT^{-2}]}}\\\\\\\\ \sf O ~ \textsf{N\'umero}\sf ~ 2\pi~\textsf{ \'e}~adimensional, ent\tilde{a}o~\textsf{ser\'a}~ igual ~a~ 1:\\ \sf [T] =1\sqrt{\dfrac{[L]}{[LT^{-2}]}}$

A expressão pode ser simplificada como:

$\sf [T] =\sqrt{\dfrac{\not\!\! [L]}{\not\!\! [LT^{-2}]}}\\\\\\\\ \sf [T] =\sqrt{\dfrac{1}{[T^{-2}]}}\\\\\\\\ \sf [T]=\not\!\!\sqrt{T^{\not2}}\\\\\\\\ \boxed{\boxed{\sf [T] = [T] }}\Longrightarrow \sf Correto\checkmark$

Assim, tendo feito os cálculos, acabamos de concluir que esta expressão é dimensionalmente correta.

Veja mais sobre o assunto de análise dimensional nos links a seguir:

$\star$ https://brainly.com.br/tarefa/21937755

$\star$ https://brainly.com.br/tarefa/21969120

$\star$ https://brainly.com.br/tarefa/51829685

Bons estudos e espero que te ajude =)

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