Question

Prove que não existe inteiro x satisfazendo a congruência x² ≡ 35 (mod 100).

Answer 1

Explicação passo a passo:

• Redução ao absurdo:

Suponha que exista $x$ inteiro que satisfaz a hipótese dada:

     $\begin{array}{l} x^2\equiv 35\quad(\mathrm{mod~100})\qquad\mathrm{(i)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2-35=100k_1,\quad\mathrm{para~algum~}k_1\in\mathbb{Z}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2=100k_1+35\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2=5\cdot (20k_1+7)\\\\ \Longrightarrow\quad 5\,|\,x^2\end{array}$

e como 5 é primo, concluímos que

     $\begin{array}{l} \Longrightarrow\quad 5\,|\,x\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=5k_2,\quad\mathrm{para~algum~}k_2\in\mathbb{Z}\\\\ \Longrightarrow\quad x^2=(5k_2)^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2=25k_2^2\\\\ \Longrightarrow\quad 25\,|\,x^2\qquad\mathrm{(ii)}\end{array}$

Então $x^2$ deve ser um múltiplo de 25, e consequentemente só temos as seguintes possibilidades:

     $\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{ll} x^2\equiv 0\quad(\mathrm{mod~100}),&\quad\mathrm{se~}k_2~\mathrm{for~par}\\\\ x^2\equiv 25\quad(\mathrm{mod~100}),&\quad\mathrm{se~}k_2~\mathrm{for~\acute{i}mpar}\end{array}\right.$

Isto significa que os dois últimos dígitos de $x^2$ são 00 ou 25, o que contradiz a hipótese (i).

Isso fica evidente ao tomarmos o resíduo de $x^2$ módulo 25:

     $\begin{array}{l}x^2=100k_1+35\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2=100k_1+25+10\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2=25\cdot (4k_1+1)+10\\\\ \Longrightarrow\quad x^2\equiv 10\quad(\mathrm{mod~}25)\end{array}$

contrariando (ii), o fato de que $x^2$ deve ser múltiplo de 25.

Logo, não existe inteiro x tal que x² ≡ 35 (mod 100).

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Bons estudos!