Question

Um mapa rodoviario foi desenhado sobre um sistema de coordenadas cartesianas,e a rodovia principal obedece a equaçao 6x+2y-3=0.Determine a lei que devem obedecer duas rodovias distintas que se cruzam na origem desse sistema e formam um angulo de 45 com a rodovia principal

Answer 1

Queremos as equações dessas duas retas, das duas rodovias distintas que passam pela origem, o ponto (0 ; 0) e ambas fazem um ângulo de 45º com reta da rodovia principal, 6x + 2y - 3 = 0, 
Seja "r" a reta da rodovia principal: 6x + 2y - 3 = 0 
2y = -6x + 3 
y = -3x + (3 / 2) 
coeficiente angular da rodovia principal: -3 
m(r) = -3 
Seja θ o ângulo agudo entre duas retas quaisquer. 
Em particular, vamos chamar de "s" um das duas rodovias distintas e de "r" a rodovia principal, como já vimos. 
Sabemos que: 
tg θ = | [ m(r) - m(s) ] / [ 1 + m(r).m(s) ] | 
Mas θ = 45º , pelo enunciado. Além disso, m(r) = -3. Então: 
tg 45º = | [- 3 - m(s) ] / [ 1 + (-3).m(s) ] | 
1 = | [ -3 - m(s) ] / [ 1 - 3.m(s) ] | 
Temos uma equação modular. Resolvendo-a, temos dois casos: 
1º caso: ----------- 
+1 = [ -3 - m(s) ] / [ 1 - 3.m(s) ] 
1 - 3.m(s) = - 3 - m(s) 
1 + 3 = - m(s) + 3.m(s) 
4 = 2 . m(s) 
m(s) = + 2 

2º caso ----------- 
-1 = [ -3 - m(s) ] / [ 1 - 3.m(s) ] 
- [1 - 3.m(s)] = - 3 - m(s) 
3.m(s) - 1 = - 3 - m(s) 
3.m(s) + m(s) = - 3 + 1 
4.m(s) = - 2 
m(s) = - 1 / 2 

RESUMINDO -------------------- 
As rodovias distintas são retas com coeficiente angular +2 ou -1/2, e que passam pela origem. 
Suas equações são y = m(s).x + n , mas n = 0 , pois a reta passa por (0 ; 0). 
Portanto as rodovias são as retas de equação: 
y = 2x ou y = -x/2