Question

Para os valores reais de x, log de (7-x) na base x é um número real?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Isis, que é simples.
Pede-se: para que valores de "x" a expressão logarítmica abaixo é um número real.
Veja: vamos chamar essa expressão de um certo "n", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa. Assim:

n = logₓ (7-x)

Agora vamos às condições de existência de logaritmos:

i) A base de logaritmos tem que ser positiva e diferente de "1".
Assim, teremos que "x" (como base) terá que atender as seguintes condições (simultaneamente):

x > 0 e x ≠ 1

ii) O logaritmando tem que ser, necessariamente, positivo (maior do que zero). Assim, deveremos impor que o logaritmando (7-x) deverá ser maior do que zero. Logo:

7 - x > 0
- x > - 7 ------ se multiplicarmos ambos os membros por "-1", iremos ficar da seguinte forma:

x < 7 .

iii) Assim, como você viu nas duas condições de existência acima, deveremos ter que:

x > 0; x ≠ 1; e x < 7.

Assim, para que exista a expressão logarítmica da sua questão, então "x" deverá estar nos seguintes intervalos:

0 < x < 1 , ou: 1 < x < 7 ----- Esta é uma forma de apresentar os possíveis valores que "x" poderá assumir no âmbito dos reais.

Uma outra forma seria você apresentar apenas um intervalo, mas deixar bem claro que "x" terá que ser, necessariamente, diferente de "1". A outra forma de apresentar o intervalo poderia ser esta:

0 < x < 7 , com x ≠ 1 ----- Esta seria uma outra forma de apresentar os possíveis valores que "x" poderá assumir no âmbito dos reais.

Você escolhe qual a forma quer apresentar.
Particularmente, eu prefiro a primeira forma (a que dá dois intervalos).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.