Question

Determine o valor do limite e, em seguida assinale a alternativa CORRETA:

Answer 1

Vamos lá.

Mas de qualquer forma, vamos resolver a questão (mesmo que não haja opções para marcarmos uma possível alternativa correta).
Vamos encontrar o limite pedido da seguinte expressão:

lim [(4x³ + 2x² + x + 2)/(x⁴ - x³ + x² + x + 1)]
x-->∞

Veja: se formos substituir cada "x" por "+∞" iremos encontrar, no final, algo do tipo: (∞/∞), o que é uma indeterminação. Quando isso ocorre, deveremos levantar a indeterminação.
Por outro lado, quando "x" tende para infinito numa expressão do tipo da expressão da sua questão, basta que tomemos, no numerador e no denominador, apenas os fatores que estão com o maior expoente.
Assim, a expressão se resumiria nisto:

lim [(4x³)/(x⁴)]
x-->∞

Note que, ainda assim, iremos encontrar algo como (∞/∞) se formos substituir "x" por "∞". Continua, portanto a indeterminação.
E uma maneira de levantar essa indeterminação seria irmos derivando o numerador e o denominador até que a indeterminação se acabe.
E o cálculo da derivada ocorrerá de forma independente no numerador e no denominador. Ou seja: calcula-se, independentemente a derivada do numerador; e depois calcula-se, também independentemente, a derivada do denominador.
Veja:

i) Calculando a derivada primeira do numerador e do denominador, ficaremos assim:

lim [12x²/4x³]
x-->∞

Note que se substituirmos o "x' por "∞" vai continuar a indeterminação.
Então vamos para a derivada segunda.

ii) Calculando a derivada segunda do numerador e do denominador, teremos:

lim [24x/12x²]
x-->∞

Note que a indeterminação continua se formos substituir "x" por "infinito". Então vamos para a derivada terceira. Assim:

iii) Calculando a derivada terceira do numerador e do denominador, teremos:

lim [24/24x] --- dividindo-se numerador e denominador por "24", teremos:
x-->∞

lim [1/x]
x-->∞

Agora, sim, já não teremos mais nenhuma indeterminação se substituirmos o "x' por "∞". Veja que, agora, ficaremos assim, quando substituirmos o "x" por "infinito":

[1/∞] ---- Agora note: se formos dividir "1" por um número muito grande (aproximando-se de +∞), então o resultado se aproximará de ZERO. Assim, poderemos afirmar, sem qualquer sombra de dúvida que:

lim [(4x³+2x²+x+2)/(x⁴-x³+x²+x)] = 0 <--- Esta é a resposta. 
x-->+∞

Note: se houvesse opções para assinalarmos a opção correta, então esta opção, necessariamente, seria "ZERO", e iríamos assinalá-la como a CORRETA.

Como, só depois, é que você enviou as opções, então a resposta correta é a opção "b", que indica "0" como resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.