Question

13. A figura mostra três circunferências de centros O, P e Q, cada uma tangente às outras nos pontos A, Be C, como indicado. O diâmetro AD da circunferência de centro O tangencia a circunferência de centro Q em E. Os raios das circunferências de centro O e de centro P medem, respectivamente, 1 e 2/3. Qual é o raio da circunferência de centro Q? (A) 1/5 (B) 6/25 (C) 7/25 (D) 8/25 (E) 9/25​

Answer 1

O raio da circunferência de centro Q é a letra (D) 8/25.

Usando o Teorema de Pitágoras para calcular raio de circunferência

Usamos as informações que sabemos para podermos calcular o raio. Com base nos pontos dados, criamos dois triângulos retângulos para podermos aplicar o Teorema de Pitágoras, como mostra a imagem.

Aplicando o Teorema de Pitágoras, chegamos em:

• (2/3 + x)² - x² = PE²
• (1 - x)² - x² = OE²

Nós também sabemos que, com base na reta PE, podemos afirmar que:

• PE = OP + OE
• OP = PE - OE

Desenvolvendo a primeira equação, achamos:

• PE² = $\frac{4}{9}$ + $\frac{4}{3}X$
• PE = $\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{4}{3}X }$

Desenvolvendo a segunda equação, achamos:

• OE² = 1 - 2x + x² - x²
• OE = $\sqrt{1-2x}$

Portanto, temos que:

• OP = $\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{4}{3}X }$ - $\sqrt{1-2x}$

Sabendo que nos foi dado o seguinte no enunciado:

• AO = 1
• AP = 2/3

Calculamos o valor de OP:

• OP = AO - AP
• OP = 1 - 2/3
• OP = 1/3

Sabendo o valor de OP, aplicamos na equação encontrada:

• 1/3 = $\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{4}{3}X }$ - $\sqrt{1-2x}$
• 1/3 + $\sqrt{1-2x}$ = $\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{4}{3}X }$

Elevamos os dois lados ao quadrado e fatorando, achamos a seguinte equação:

• 25x² - 8x = 0
• x(25x - 8) = 0
• 25x - 8 = 0
• x = 8/25

Portanto, o raio da circunferência com o centro Q é igual a 8/25, letra (D).

Veja mais sobre o Teorema de Pitágoras:

https://brainly.com.br/tarefa/20718757

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