Question

Questão sobre Cálculo Diferencial e Integral IV.

Answer 1

Através dos cálculos realizados, temos que a resposta da integral de linha é igual a:

 $\large\displaystyle\begin{gathered}\boxed{\bf \oint xydx+x^2+y^3dy=12}\end{gathered}$

Desejamos encontrar o resultado da integral de linha  $\displaystyle\begin{gathered}\sf \oint xydx+x^2+y^3dy\end{gathered}$ avaliada sobre uma curva C que corresponde ao quadrado de vértices $\large\displaystyle\begin{gathered}\sf (0,0),(2,0),(2,2),(0,2)\end{gathered}$ . Para isso, vamos utilizar o Teorema de Green, dado da seguinte forma:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \oint _C Pdx+Qdy=\iint \limits_{K}\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy\end{gathered}$

Sendo $\large\displaystyle\begin{gathered}\sf P = xy \end{gathered}$ e $\large\displaystyle\begin{gathered}\sf Q = x^2+y^3 \end{gathered}$ , temos que:

 $\large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}\sf \frac{\partial Q}{\partial x}=y^3+(x^2)'=\mathbf{y^3+2x}\\\\ \sf \frac{\partial P}{\partial y}=x\cdot (y)'=\mathbf{x} \end{cases}\end{gathered}$

Com isso, surge que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \oint _C xydx+x^2+y^3dy=\iint \limits_{K}\left(y^3+x \right)dxdy\end{gathered}$

Para achar os limites de integração da integral dupla, temos que fazer o gráfico do quadrado de vértices $\large\displaystyle\begin{gathered}\sf (0,0),(2,0),(2,2),(0,2)\end{gathered}$ e fazendo isso, temos que $\large\displaystyle\begin{gathered}\sf x\in [0,2] \end{gathered}$ e $\large\displaystyle\begin{gathered}\sf y\in [0,2] \end{gathered}$. ( Veja a figura em anexo para compreender melhor ).

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \oint _C xydx+x^2+y^3dy=\int_0^2\int_0^2 \left(y^3+x \right)dxdy\end{gathered}$

E para resolver essa integral dupla, temos que utilizar o Teorema de Fubini, que é dado da seguinte forma:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \int_a^b\int_c^d f(x,y)dydx=\int_c^d\int_a^b f(x,y)dxdy\end{gathered}$

• Ficando então:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \int_0^2\left(\int_0^2 \left(y^3 +x \right)dx\right)dy\end{gathered}$

Resolvendo a primeira integral, temos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \Leftrightarrow\ \ \int_0^2 \left(y^3+x\right)dx\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \Leftrightarrow\ \ y^3\int_0^2 dx + \int_0^2 x dx\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \Leftrightarrow\ \ y^3\cdot (x) \bigg|_0^2+ \left. \left( \frac{x^2}{2} \right) \right|_0^2\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \Leftrightarrow\ \ 2y^3+\frac{4}{2}\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\Leftrightarrow\ \ \boxed{\bf 2y^3 +2 }\end{gathered}$

Por fim, resolvendo a segunda integral, temos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf\Leftrightarrow\ \ \int_0^2(2y^3+2)\ dy\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf\Leftrightarrow\ \ 2\int_0^2y^3dy+2\int_0^2 dy\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf\Leftrightarrow\ \ \not2\left. \left( \frac{y^4}{\not4} \right)\right|_0^2 +2(x)\bigg|_0^2 \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf\Leftrightarrow\ \ \frac{16}{2}+ 4\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\Leftrightarrow\ \ \boxed{\bf 12}\end{gathered}$

• Portanto, a resposta da integral de linha $\displaystyle\begin{gathered}\sf \oint xydx+x^2+y^3dy\end{gathered}$ , avaliada sobre uma curva C que corresponde ao quadrado de vértices $\large\displaystyle\begin{gathered}\sf (0,0),(2,0),(2,2),(0,2)\end{gathered}$ é igual a 12.

Qualquer dúvida quanto a resolução dada é só chamar!

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