primeira fase da OBMEP é composta por três provas, de niveis 1, 2 e 3, com 20 questões em cada prova. Nessas provas, três questões são comuns aos três niveis, duas são comuns somente aos níveis 1 e 2 e outras duas são comuns somente aos níveis 2 e 3. As demais questões só aparecem em uma das provas. Quantas questões diferentes aparecem nas três provas da primeira fase da OBMEP? (A) 50 (B) 52 (C) 55 (D) 56 (E) 57
Respostas
Resposta: 50
Explicação passo a passo:
Nas três provas da primeira fase da OBMEP, há 50 questões diferentes.
Alternativa A.
Diagrama de Venn
O diagrama de Venn representa, visualmente, as intersecções entre os conjuntos.
Como 3 questões são comuns aos três níveis, esse número ficará na intersecção dos três conjuntos.
2 questões são comuns somente aos níveis 1 e 2 e outras 2 são comuns somente aos níveis 2 e 3. Então, colocamos 2 nas intersecções desses conjuntos.
As questões que sobraram aparecem apenas em uma das provas. Então, na intersecção dos níveis 1 e 3 não há nenhuma questão.
O que precisamos fazer agora é obter os valores de x, y e z.
Como há 20 questões em cada nível, temos:
- nível 1: x + 2 + 3 = 20 => x + 5 = 20 => x = 15;
- nível 2: y + 2 + 3 + 2 = 20 => y + 7 = 20 => y = 13;
- nível 3: z + 3 + 2 = 20 => z + 5 = 20 => z = 15.
Portanto, o número de questões diferentes presentes nessas três provas será:
15 + 13 + 15 + 2 + 3 + 2 = 50
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